哥德尔定理【悖论本质与新解释】二 (6-4)

此外，自然语言，作为一个广义的形式系统（符号更多）也可以纳入哥德尔数中去。哥德尔数是减少符号数增加空间点位，而自然语言系统则相反，是增加符号数，空间点位归为1，但二者等价。自然语言可用哥德尔数表示，反之必也一样。正如哥德尔数可以表示形式系统，反之也一样一样。再翻译成自然语言系统，也可以。只有繁简的区别，而没有本质的区别。原则上，哥德尔数可以用一进制数表之，它只有空间占位，符号只有一个。反之，点位为1，符号数庞大也可以。笔者之所以提出这个问题，就是把所谓的通俗化的自然语言描述哥德尔定理与看似“高大上”的、鲜有人问津的所谓“专业”行话表达的哥德尔定理等价化。只要自然语言表达的哥德尔定理自己是准确无误的，就可以以其为基础进行讨论，而不是像有些人那样，自己其实也不真懂，却把正常的讨论推到“哥德尔数”这种鲜有人懂的象牙塔中去束之高阁。总之，笔者的意思，哥德尔定理如果是可表达的，就必须准确无误地可以用自然语言表达出来，否则就不是真懂。换言之，我们讨论哥德尔定理问题，完全可以基于自然语言对其的描述，如果不能，则说明这个定理毫无讨论的必要，它不接地气。一个不能“翻译”成自然语言的所谓“定理”，根本称不上是定理。而如果可以翻译，则针对形式语言哥德尔数还是自然语言的描述，本质是一样的，而后者显然更直观。

哥德尔从一个特殊的自反性的语句，得到一般性的只有真正的推理才能达到的关于定理结论，本身就不对。除了那个语句本身，还有什么是不可证的？没有。罗素的话很对，1965年罗素应Schilpp的邀请，写下如下对哥德尔工作的评论：“在《数学原理》出现后不久，哥德尔提出了一个新的困难。他证明，在任何系统的逻辑语言中，有些命题可以被陈述，但不能被证明或证伪。这被许多人（我想不是由哥德尔）认为是对我和其他人提出的数学逻辑的致命反对。我从来没能采纳这种观点。持这种观点的人认为，没有一个系统逻辑理论可以具有普遍的真理性。奇怪的是，他们从未将这一观点应用于初级的日常算术。在他们这样做之前，我认为他们可以被忽略。我一直认为，数理逻辑中有些命题是可以陈述的，但既不能证明也不能证伪。其中有两个命题在《数学原理》中占有相当重要的地位，即选择公理和无穷公理。然而，对许多数理逻辑学家来说，哥德尔的工作的破坏性影响似乎比对我的破坏性影响大得多，并被认为需要对数理逻辑的范围进行极大的限制。… 我坚持这样的观点：一个人应该制定他能想到的最好的公理集，并相信它，除非出现实际的矛盾”。他又说“当然，我意识到哥德尔的工作具有根本的重要性，但我对它感到困惑不解。这让我庆幸自己不再从事数理逻辑研究。如果一组给定的公理导致了矛盾，那么很明显，至少有一个公理必须是假的。这是否适用于小学生的算术，如果是这样，我们能相信年轻时被教导的任何东西吗？难道我们要认为2+2不是4，而是4.001？显然，这不是我们的初衷”。

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