哥德尔定理【悖论本质与新解释】二 (6-5)

显然，罗素观点的要义，是承认数理逻辑中的确有些命题是可以陈述的，但“既不能证明也不能证伪”。但他显然认为，这无关紧要，本来就是如此，是题中应有之义。不新鲜。不应该做过多的解读。从哥德尔的论述中引申出一些危言耸听的观点（很多人素好如此，有意无意为吸引公众眼球）。罗素举出选择公理和无穷公理作为无法证明和证伪的例子，但笔者认为其实一个矛盾命题或悖论命题，也是既不能证真也不能证假的。因为矛盾命题即“又真又假”，不能证“真而非假”，也不能证“假而非真”，即：从“非真且真”是推不出“真且非非真”的。而悖论，则是即可以证真，有同时可以证假，可互推真假，互为真假，a → ┐a及┐a →a，最终仍旧为 ┐a∧a（二者都为真）。但这只是人为定义出来的矛盾，或隐蔽在一个命题中的矛盾（悖论），是“孤立”的，特殊的，不具有普遍意义，不会对公理系统造成很大的冲击，以至于危及系统的一致性或完备性的大问题。我想，这也是罗素上述引文的意思吧。

哥德尔定理证明，由本句非定理（不可证） → 本句为定理（可证），由 ┐a → a ，只有反证法才成立。但反证法之推出矛盾，必应与前提 ┐a 无关，才可否定┐a（说明┐a确实有问题）而确定结论是a（见前面第二小节的讨论），而这里是前提 ┐a本身与结论a构成矛盾，所以不适用反证法。只能说由┐a为真的假设推出了a，即可认为推出了 ┐a∧a（二者都为真），即两个相互矛盾的命题同真，这当然是矛盾。所以结论是错的。即使a为“定理（可证命题）”一词。得到的是 ┐a∧a而非a，所以哥德尔语句表示的饮食矛盾句┐a∧a，意为“定理∧非定理”，而非单纯的“定理（可证命题）”，是个关于定理这个名词的矛盾。它也不是由系统公理推出的矛盾（这种矛盾其实反映了公理本身之间的矛盾），而是定义出来的矛盾，故意、人为制造的矛盾或悖论。第二小节已经讨论了，由反证法，才可以真正地由 ┐a推出一个不涉及前提┐a的矛盾，进而否定前提┐a而得到确实的、真正的a。而悖论性的推导，表面形式上与反证法差不多，但实质是完全两回事，它是首先肯定前提┐a的，由此必然推出┐a与a都真，即矛盾句┐a∧a，如果套用反证法，就是这里有前提┐a推出的矛盾，┐a是矛盾的一方。这个关于前提┐a自身的矛盾┐a∧a，是推不出单纯的a的。即推不出“a且非非a”。因此这不是系统公理之间的矛盾导致的（推出的）矛盾，而实际是人为制造的一个系统中的“废句（矛盾句）”。而任何语言系统、符号系统，显然都有制造废句的能力、权利，这个与系统不一致不是一回事。而只有一个系统中，把矛盾句（废句）认作非矛盾句（正确的句子）时，这个系统本身才是不一致（矛盾）的。总之，产生“黑”不是系统问题，产生“以黑代白”、“黑白颠倒”，才是系统问题。

如果 ┐a → a 是直接的推出┐a∧a（或┐a = a），则其能如此推导的缘由其实就是┐a∧a（或┐a = a）实际上本已隐蔽在了前提┐a中了。否则根本得不到这个结果。因为如果┐a∧a中的┐a与a都为真，则由┐a∧a必然可以得到a真。对a → ┐a也一样。同理。因为前提都是┐a∧a（或┐a = a），因此，这两种悖论的推导，是等价的。但过去往往只知道或只重视表面明显的a → ┐a及┐a →a，而忽视了 ┐a → ┐a∧a（或┐a = a）或┐a∧a → ┐a等。总之，哥德尔定理中涉及的矛盾┐a∧a（或┐a = a）是人为定义出的，不是系统公理间的矛盾而导致（推出）的。

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