哥德尔定理【悖论本质与新解释】三 (4-3)

总之，所谓元数学命题“本句不可证（非定理）”并非由系统公理直接、间接推出的，而是结论性的、断语性的、外加的矛盾，它不对系统的一致性（无矛盾性）负责。正如自然语言中的悖论不必对自然语言的无矛盾性、完备性负责一样。即，自然语言本是可以说清的（排除矛盾的），但任何人非要构造一个矛盾，甚至隐蔽的矛盾（悖论），总是可能的，但这并不是自然语言有什么缺陷而导致的总也不可能说清楚。它是可以说清的，矛盾是可以排除的、被认识的。

可以看出，哥德尔为了回避一个人为构造出的、其实与系统的矛盾与否无关的矛盾句 “本句不可证”，带领大家兜了个大圈子，绕晕了绝大多数人，包括他自己。代价显然是系统极其复杂难解。因为它根本就不对。

哥德尔的推导，实际是混淆了我前面已经讨论了的悖论性推理和反证法推理的本质区别：对反证法而言，是推出了一个与前提无关的矛盾，于是才要否定前提，得到与前提相反的结论。而悖论性推导，是得到一个前提参与其中的矛盾，因此是在前提成立的前提下得到的与前提矛盾的结论，因此实际得到的，其实就是一个矛盾，而且是前提和前提的否定共存的矛盾。这个前提是否定不了的。哥德尔没有意识到这点，因此他只是说比如从“本句不是不可证”，推出了“本句可证”。或从“本句可证”，推出了“本句不可证”，这种表述与反证法的表述无法严格区别。实际上，悖论性推理，一步就可以从“本句不可证”，直接推出“本句不可证并且本句可证”这个矛盾。因为”本句可证”是由“本句不可证”成立的前提下才推出的，二者都必须成立，这当然直接就构成了矛盾。在省略此点的前提下，才可以并不完全地说从“本句不可证”，推出了“本句可证”，但这只是结论的一部分，更完备的结论应该是“本句不可证并且本句可证”，推出了矛盾。也就是说，哥德尔的表达的结论“本句可证”，是从一个矛盾中抽取得到的，他试图回避这个矛盾，其实回避不了。是他自己没有察觉出这个必须具有的矛盾，否则他的一切结论都得不到。这是一个“坎”，迈不过去的。所以，结论必然是：哥德尔的结论不仅仅是排除不了“元悖论”、“元矛盾”的出现，而且他的推导中还必然要出现躲不过去的矛盾。哥德尔推导的过程实际是：由推理推出了一个明确的矛盾，即文献3指出的“G可证，当且仅当┐G可证”。但为了维护系统的一致性（无矛盾性），硬说上面矛盾的双方均不可证。也就是不可判定。但注意，在逻辑上推出矛盾的一步可是在前的，它是所有后面哥德尔推理和结论的前提，因此哥德尔推理的本质，就成了“推出了矛盾（此点可证的（同时可以判定）），再否认这是个矛盾，而是不可证（同时不可判定）”，于是逻辑结构成了“因为矛盾，否定矛盾”，或“因为可证（进而可判定），否定可证（进而否定可判定）”，其本身就构成矛盾或悖论。结果成了“可证（可判定），当且仅当不可证（不可判定）”。因此，其矛盾性、悖论性不可回避。最后，既然哥德尔的推导最终声称是个“定理”，尽管是个元数学定理，那必为真，必可证。即得到了一个人们常说的“真而不可证、不可判定的命题”，既然如此，不可判定，怎么是真的？还是判定了嘛。更何况你说它不可证，它自己不就说的是它自己不可证吗？怎么个不可证了？于是没辙，只能推说这个结论是真的，但不是原先系统中得到的，是更高一层的系统中得到的这个“真命题”也就是定理，这纯粹是一种表面高大上的“理屈词穷”的推脱。但实际上，这一切结论都根源于前面我说的悖论性的一步推出的矛盾，也就是业已被证明了的矛盾，再说不可证为真，就等于在逻辑上直接否定了前面推出矛盾的那个前提，等于自己否了自己，结论否了它赖以推出的前提（非反证法意义的）。这仍是逃不脱矛盾、悖论的结局的。总之，笔者认为，就如孙猴子跳不出如来的手掌一样，哥德尔的一切论辩，都否定不了矛盾的结论，无论你怎么样进行推理的挣扎。

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