哥德尔定理【悖论本质与新解释】三 (4-2)

可以说哥德尔定理的症结所在，就在于它从一个所谓的“系统是一致的（无矛盾的）”这个“元假设”出发，对一个作为“元数学命题”（元语句）的、特殊的哥德尔命题（语句）“本句不可证”给出的元证明，得到元结论“系统不完备”。这其实是对原先那个系统的一个并无根据的（只是假设的）、未加证明的断言。是强加给原系统的。其实与原公理系统的一致性、完备性根本无关。假设只能是外加的，行话就是“元系统”、“元数学”、“元定理”等等。我们直接就可以把凡是加“元”的东西，都看成与原系统无关，只是一个假设，也就是外来的观察者怎么看的问题。既然如此，换言之，假设了系统“无矛盾（一致）”，系统也未必就无矛盾（一致）。好，既然如此，我们如果从一开始就假设系统“不一致（有矛盾）”，系统不是也未必就有矛盾吗？事实也正是如此。作为“元语句”、“元数学命题”的那个哥德尔命题“本句不可证（不是定理）”，既然也是“元”，就说明其是外来强加的，不是直接或哪怕是间接地由系统公理推出的。这我们从哥德尔命题的构造过程就完全可以看出。这与一个逻辑悖论的形成方式完全一致。正如我们不能说逻辑系统、集合论、自然语言系统中产生了悖论，就算否定了它们一样。事实上，在任何系统中人为构造一个矛盾甚至悖论，谁也拦不住。比如，我们构造一个┐a∧a（或┐a = a），或说某人“又死又活”，谁又能不允许？我们把其归于系统中的一个人为设置的矛盾或一个错误的语句就可以了。在一个系统中（无论数学系统还是自然语言系统），写出错误的公式、矛盾的公式，说一个错话，这是常见的，排除其正确性就可以，单靠禁止是不行的。这是题中应有之义，是系统表达的一部分。比如按照哥德尔定理的思路，自然语言中的强化谎者悖论“本句假”，由于涉及了对自己的评价（尽管是否定性评价），它也可以看成是一个“元语句”，其真假与否，与我们的语言系统的矛盾性、完备性无关。当然，这只是循哥德尔定理的思路的说法，其实笔者根本就不同意分什么“元命题”、“元语句”、“元系统”、“元定理”诸如此类把系统复杂化的、类似罗素类型论的作法。谈论自己，天经地义，随时可以发生。难道学生做题、答卷子是系统内的，而老师评卷子、打分（涉及对对象的评价）就是“元系统”的？一个人对自己某行为的评价，就是“元”语言了？笑话！总之，根据以上分析，我们可以把凡是哥德尔定理中涉及“元命题”、“元假设”、“元定理”、“元推理”等的地方，统统看成与实际系统公理的完备性、一致性无关的东西，它们都是“外加”，“空降”到系统中的，是故意人为构造出来的，或假设出来的。本质上并不是直接或间接从公理中推出的结论。既然如此，我们何不直接定义“元矛盾”、“元悖论”、“元非定理（元不可证）”？这些都不是由系统公理直接、间接推出的矛盾、悖论等。它们是人为构造出的矛盾、悖论，哪怕是很隐蔽的。它们其实是系统公理所排斥的矛盾。如果一时没有搞清，搞清即可。如果是涉及公理的，修改公理、添加公理即可，而不是推到“元系统”或上级系统中去（类似罗素的类型论的办法）。不完善不是不可完善，而哥德尔定理的结论是不可完善。它无意中混淆了系统原生的矛盾（直接、间接由公理推出的矛盾。所谓“间接”，是指由系统定理推出的。但定理最终还是由公理得到的）与外界强加的矛盾的区别，类似于个别人说错话（比如那个卖矛、盾的人的话），说成是人类的语言本身不完备，还实质不可完备。这是错的。有意无意说怪话、错话的人什么时候都有，与语言系统本身的完备性何干？

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