哥德尔定理【悖论本质与新解释】一 (5-3)

综上，悖论的定义笔者认为是：一种隐蔽在某种命题、语句、陈述的表述中的逻辑矛盾，需要正确的推理过程（即指前提讨论过的“狭义的推理过程”）才能被发现。或说是一种隐蔽在某种命题、语句、陈述中的因果性逻辑互推矛盾，构成矛盾性的逻辑循环。也可以说 ，悖论性命题，就是一个隐含着逻辑矛盾的命题。而所谓的“隐含”，就是必须要经过正确的推理过程（指狭义推理过程）才能被发现。而隐含的逻辑矛盾，就是只有通过正确的推理过程才能被发现的逻辑矛盾。这个意义上，它就是一个没有明说或说清楚的矛盾命题，矛盾没有直接地、直观地在该命题中表达出来，需要经过推理才可以被发现。因此悖论之“悖”，不仅仅是一个矛盾或矛盾等价式这么简单，单纯的矛盾或矛盾等价式当然是“悖”，但其悖的明显、无疑义。而悖论之“悖”，是更加悖，是悖上加悖。是一开始被伪装、隐蔽的“悖”。因此，悖论作为一个“论”，是区别于直接了当的矛盾等价式的。所谓“论”，就是推理，而推理其实就是“讲道理”或“需要讲道理”，但讲了半天“道理”，最终却来了个“无道理”，也就是“悖”，这才是“悖论”。因此一个悖论，是包括其隐含矛盾的前提与整个逻辑推理过程最终可以推出一个矛盾等价式（不一定直接表示出这个等价式）的全过程的，而不仅仅是一个矛盾等价式。此定义的好处，是把过去那些定义中，有的说是“错误的逻辑推理导致的”或“正确的推理却产生了矛盾”，二者长期争论不休。但在此定义中，就说清楚其缘由了。其实说起来也很简单：之所以推理步骤a → ┐a及┐a →a等是必须的，是只有通过这个必须的推理才可以得到“矛盾的等价式”a = ┐a，a∧ ┐a等等，原因就是一开始仅就隐含矛盾而言，命题a中并没有明说或可以简单地看出来。这个矛盾，必须经过严密的推理才可以推出来。比如前面举的那个罗素悖论的例子：a = {a |a∉a}。这里面对a的定义，看似没有什么问题，它不过就是一个定义，但其实（a = {a}）= a∈a ，直接与a = {a |a∉a}中的a∉a相矛盾。因此罗素悖论的定义式等价于（a∈a）∧（a∉a），也可以表示成（a = {a}）∧（a = {┐a}），这当然就是个“矛盾等价式”了。而不经过推导和仔细分析，如此简单的“道理”也没见什么人阐述的像笔者这里这么清晰的。总之，矛盾是包含在对a的定义式等价于 a∈a，但这又与其定义中的条件式a∉a直接矛盾，而这一切，没有明说，是需要推理才可以看出来。这个推理实际上很简单：（a = {a |a∉a}） →（a = {a}）→ （a∈a） → （a∈a）∧（a∉a）。这个推理，可以看成是揭示悖论成因（解悖）的推理，而前面的a → ┐a及┐a →a的推理，是推出了悖论的推理。二者当然是不一样的。 由于此悖论一开始的表达式不过是一个集合的定义式，很少有人会想到这个定义式中隐含着一个矛盾。而这正是此悖论之所以为悖论的缘由。只有彻底搞清这点，才算真正解悖。单纯以“不允许此集合定义出现”的硬性规定来消除这个悖论，到头也没有搞清它为什么会产生，也就是此悖究竟悖在何处。当然，揭示这个悖论成因的难点，还在于罗素悖论最初始的公式并不是直接的（a = {a |a∉a}），而是（a = {c |c ∉c}），这里隐含着c ∈ a，即c是a的元素。然后问如果把集合a代替c，会如何？但此时虽然（a = {a |a∉a}）就在眼前，但一般人只是问a∉a会出现什么情况等，此时必然陷于一个悖论性的推导，于是就往往掩盖了明确的（a = {a |a∉a}）的得到。因此，对该悖论成因的揭示又增加了难度，更容易被人所忽视。 与罗素悖论等价的理发师悖论，如果以a代表理发师，也是一样的悖论成因。如果仅仅知道没有了这个理发师，悖论就不再有了，是不行的。因为悖论在现实中已经被提出来了，它就已经有了，抹不掉了，只有搞清此悖论产生的原因，才算彻底解悖。否则取消了理发师，还不知道为什么他的说法会产生悖论，而只知道它会产生悖论。这个并不是真正意义的解悖。包括谎者悖论的不允许自指代的解悖方案，都是如此。

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