哥德尔定理【悖论本质与新解释】一 (5-2)

悖论的定义问题，多年莫衷一是。我在其它有关文章中有论述、评价，这里不再多说。只是阐述我自己的观点。矛盾是什么，就是比如a = ┐a，a∧ ┐a（仅指a与┐a同真的意义上的合取式，即（a = 1）∧（┐a = 1）时。下同），而a ↔┐a是互推，其实就是悖论，或说“a，当且仅当 ┐a”。这是明显的矛盾或矛盾句，矛盾命题或“矛盾等价式”。但比如a = {a |a∉a}就是一个悖论（罗素悖论）。是一个不明显的、隐蔽的矛盾或“矛盾等价式”。从其直观的表示上，看不出内涵的矛盾，需要经过推理才可以知道、推出是个矛盾的矛盾。而{a∈a∧a∉a}则为一般的矛盾。为什么？因为前者隐蔽，它并没有说或明白地“显示”出它是个矛盾，而后者在是明明白白的一个矛盾。因此，什么是悖论？就是需要通过推理才能弄明白或暴露的矛盾。其原因就是对前件a的表述不清晰（虽然是以看似清晰的形式），其中暗含、隐含着矛盾。因此，明显的矛盾就是前面说列出的那些如a = ┐a，a∧ ┐a，等等，而悖论是指虽然其实还是这些矛盾，但却必须经过a → b → c → ............→ ┐a以及 ┐a → j → k → s → ...........→ a，才可最终确定为是一个矛盾，即a = ┐a，a∧ ┐a这样的矛盾等价式是最终推导出来的、才可以得到的，仅就推导之前而言，矛盾是隐蔽者的，此即悖论。我们现在一提悖论，就是外国人提出的悖论，但我国古代就有，比如那个关于“矛盾”（矛盾一词的由来）的典故。如果把A表示成那个“可以刺破全部盾的矛”，把B表示成“任何矛都刺不破的盾”，则A∧B → （A→ ┐∀B → ┐B）∧（B→ ┐∀A → ┐A）→ ┐A∧ ┐B，这当然是个悖论，因为这个关于矛、盾的典故，最终推出了“矛盾”（公式中的符号“∀”，表示“所有”，这里的符号“ ┐”，表示“刺破”或“挡住”）。当然，在不引起误解的前提下，我们也可以简化地或实质上原本推导就是一步的、于是可简单地写成a → ┐a及┐a →a这样的形式，进而还可以简化为a ↔┐a。这实际上可以看成是悖论的一种非文字表示的定义。但这个“定义”是过于简单的，很多信息没有包括在里面，或没有直接表达出来。注意，此时的“→”表示完全正确的逻辑推理过程，但矛盾隐藏在对命题a或 ┐a的定义或表述中。因此，经常有关于悖论的逻辑推理，究竟是“正确的逻辑推理”还是“错误的逻辑推理”的争论，其实如果光看不包括前件命题a的中间及最终推理 b → c → ............→ ┐a以及前件命题 ┐a的中间及最终推理j → k → s → ...........→ a，是没有逻辑推理问题的，但问题出在推理前件（前提）a以及 ┐a的表述或定义中。这种表述表面清晰或没有问题，但禁不住推敲（也就是进一步的推理），它会产生矛盾。因此，如果我们非说一个正确的推理（不能最终推出矛盾的）过程也要包括其推理前件（前提）中没有可以产生问题的隐含矛盾的话，在此意义上，也可以认为推理有问题。否则一个完全彻底正确的逻辑推理，怎么会推出了矛盾？无法解释。成了某种神秘性的东西。因此我们说，如果说一个正确的推理步骤、过程，必须包括其基于正确的、不隐含矛盾的、概念清晰的推理前提这一点的话，在这个意义上，也可以说一旦推出了矛盾，不管推理的中间过程如何准确无误，这个推理或包括推理前提的整个推理过程，就是有瑕疵的、有问题的、甚至可以说是错误的。更直接的说法，就是推出了矛盾的。但前面也说过了，这个问题不是推理过程的，而是推理前提的。这可以认为是一种广义的推理概念。广义推理，包括推理前提的无误、无矛盾。而狭义的推理，只包括中间推理过程，不包括推理前提。前提的暗含矛盾或定义不清晰，不去算在狭义推理的账上。确实，像a → ┐a及┐a →a这样的式子表示一个悖论，似乎谁都知道，但它与a = ┐a，a∧ ┐a这样的式子的本质区别，却是模糊的。事实上，我们必须把a → ┐a及┐a →a这样的式子看成是必要步骤，是必须的，但为什么？是因为在命题a的表述中，虽然隐含了 ┐a，但这个┐a必须要经过a → ┐a及┐a →a的推理步骤才可以明了，这一点在单纯的公式a → ┐a及┐a →a中是看不出来的。这也就是为什么看似严格的（很多人都以为的）符号、公式表达的“数理逻辑”，其实并不能完全替代人的自然语言中的逻辑的原因。顺便说一句，事实上，后者远比前者丰富复杂（包括很多词汇、句子的歧义性、多义性），说白了，如果把自然语言中的所有文字、词汇等都看成符号的话，区区数理逻辑中的那些很少、有限的符号、公式，能表达完全自然语言中的极端丰富的词汇、概念、语义吗？更不用说语气、情绪、双关、比喻等等了。有人说数理逻辑或符号逻辑比自然语言逻辑严格，但实际上，它的所谓“严格”，仅限于对那些有限的符号，而且这些符号的定义还要靠自然语言，因此，数量很少，不可能充分地表达自然语言的丰富性，而自然语言的歧义性，它其实不但全有，甚至还过之。因为显然，逻辑甚至是数理逻辑，归根结底还是要为数学甚至自然语言服务的，如果这二者产生歧义，数理逻辑可以独善其身吗？除非它不再为数学、自然语言服务，而这样的所谓“逻辑”，又有什么用？总之，就算把数学概念或自然语言概念代入所谓“严格的”数理逻辑符号，那首先也要排除相应的数学、自然语言概念中的歧义性，这个工作，是免不了的，不是什么“数理逻辑最严格”的一句空话就可以解决的。于是笔者认为，逻辑最难的地方，不是什么代入符号，进行公式运算，而是排除目标语言相关概念的歧义性，充分理解其丰富性（与歧义性往往是一个硬币的两面，相辅相成），挖掘出相关名词、概念的真实含义。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。