数学分析综合（四） (5-5)

(4)式等号左边为割线斜率(第二定义下的导数)，右边为x1点的切线斜率(第一定义下的导数)，由 x1=x+Δx/2x1=x+Δx/2 可知， x＜x1＜x+Δxx＜x1＜x+Δx ,x1即为中值。如将4式两边乘以自变量Δx，则可得函数微分，即

2x1⋅Δx=(2x+Δx)⋅Δx=2x⋅Δx+Δx2=Δy2x1⋅Δx=(2x+Δx)⋅Δx=2x⋅Δx+Δx2=Δy(5)

很显然，这正是我们十分熟悉的二次曲线函数的增量。它是个精确值，不需要什么线性主部dy，也没有什么“高阶无穷小”和极限之类拖泥带水的说法。物理上，如果某时段的平均速度乘以此时段，当然就是此时段的运动距离的精确值，不必再纠缠于某点的瞬时速度。

由以上分析我们可以看出，新诠释下的微分法实际就是变分法，二者是一致的，甚至后者还更本质。过去常有究竟是微分法基本还是变分法基本的争论，有人认为微分法的极限理论是“精确的”，而变分法是“近似的”。现在看此种看法是不对的。因此之故笔者把新诠释下的微积分命名为“增量分析”。

由于导数的定义无涉无穷小或极限，因此微分的定义，也无涉函数增量的线性部分，它就是函数的增量本身，等于自变量增量的中间某点(中值)的导数(第一定义)或更直观地就是割线的斜率(导数第二定义)与该自变量增量的乘积。因此在此观点下，所谓的中值定理就不是定理，而是微分定义的出发点。如此，函数自变量的微分定义问题即以往dx=Δx疑难问题不再存在。函数自变量的微分，就是实实在在的自变量的增量Δx，无涉什么dx。

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