数学分析综合（四） (5-4)

同时，以最简单的自函数y = x的增量函数Δy = Δx为例，当Δx = 0时，有Δy = 0，即0 = 0，不能由除法得到有意义的增量比值函数Δy/Δx的值，因为0除以0为0/0。人们承认这是个问题(导致贝克莱悖论)，才有极限法的标准分析，认为Δy/Δx在0点虽然没有有意义的函数值(即函数值为0/0)，但却可以有有意义的(非0/0型的)不可达意义的极限值。进而用此极限值定义导数。但是，我们看到，当Δx→0时，其极限值当然也为0，Δy = Δx等式两边在0点的极限值仍旧是0，也就是0 = 0，除法仍旧不可为。而不能做除法消去分母上的Δx，我们就无法求出Δy/Δx在Δx = 0点的有意义的极限值，即充其量得到无意义的极限0/0，与函数值一样。而要想做除法，Δx最小也得是无限小ε，绝对不可能是0，如此，Δy/Δx有意义的极限就不是Δx→0了，而是Δx→ε。即为ε/ε = 1/1而非0/0(但如此，如所周知，会在二次函数等曲线方程的求导中产生无穷小的舍弃问题)。以上，实际可以看成Δy/Δx在Δx=0点没有有意义的极限值(即非0/0型的)的一个最简证明。

另一方面，笔者前期论文中已有表述，所谓“不可达极限”，就是在某点没有函数值或函数无定义，但却可以有极限。但这个区别于可达极限的不可达极限，显然不能由极限过程本身求得。原因很简单，正是因为按定义，这个极限值是极限过程永远也到达不了的，怎么可能再由这个极限过程本身得到该极限值？这直接违反定义。也就是说，这个极限实际是事先假设函数在该点有定义，直接舍弃或无视贝克莱悖论中无意义的0/0部分，只保留有意义的那部分，权当“求出”了该点的“函数值”，再认为函数极限过程是以该点的该“半截”函数值为极限的。然后又不得不由于众所周知的原因，说该点极限值，是函数永远不可达的，但可以不断趋近它。总之，这个“半拉”函数值进而极限值，都是有问题的。贝克莱悖论并没有被消除，而仅仅是被无视。具体到微积分求导问题，函数的增量比值，在增量为0的那一点，没有有意义的值(为0/0，或会产生贝克莱悖论)。但标准分析认为在0点可以有不可达极限值。但以往人们都忽略了，这个不可达极限由前述理由可不是由极限过程本身得到的，而是事先在0点用函数求出来的(由前述，当然是“错误地”求出的)，但显然，如此求出的极限值，既然是在会产生贝克莱悖论或0/0值的那一点，因此这个所谓的不可达极限值和函数值一样(函数值有的问题它也都有)，也会有贝克莱悖论，其固有的矛盾不可能仅仅由于把函数值换成极限值换了个名词就被摆脱。实际上也就是增量比值函数的极限过程所趋近的，仍旧是一个与函数值一样的、在0点会产生矛盾的极限值(即得到0/0)。换言之，这个极限作为有意义的值并不存在。显然，人们以往为了回避函数在0点的贝克莱悖论(有0/0)，弄出一个在0点没有函数值的极限值；但却忘了或没有意识到，为了求出这个极限值，我们还得事先求出0点的函数值，而这个函数值由于会产生矛盾，正是我们所要回避的。这实际是典型的循环论证。由于这个过程很隐蔽，人们在求极限值过程中不自觉地舍弃了贝克莱悖论中无意义的0/0部分而保留有意义的部分，就此认为悖论解决了。由这里的分析可以看出，这当然不是事实。

三、微分

由导数的第二定义，因而原先x1 点的微分，由(2)式可得

K(x1,0)⋅Δx=K(x,Δx)⋅Δx=ΔyK(x1,0)⋅Δx=K(x,Δx)⋅Δx=Δy(3)

因此，由(3)式可以看出，微分也可以被定义成当自变量由x点起始有增量Δx时，函数的增量Δy，完全没有了什么增量Δy的“线性主部”dy之类的说法，干净利索。

以著名的二次曲线y=x2为例，令

2x+Δx=2x12x+Δx=2x1(4)

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