数学分析综合（五） (2-1)

四、积分

方源、王元所著《微积分(上)》P186定理5.2.8的上确界(l.u.b)和下确界(g.l.b)，当二者合二为一时，就是一个“不可达极限”，与极限法求导数的情况一致。因为要“到达”此“确界”，需要小区间Δxi=0，但显然任何有限区间的积分又要求当这个小区间数n趋于无穷多时，这个小区间Δxi只能是与“无穷多”相对应的“无穷小”，而不能是0(对无穷个0积分，还是0)。就算把这个0看成是Δxi→0，但它肯定也是一个“不可达极限”，也就是这个“确界”是到达不了的。对一个根本就到达不了的“区间”，是无法积分的。而一但可达，再小必是不为0的无穷小区间，如此，其上、下确界差再小也不可能一致(上、下确界不相等)，也就是积分时不可能没有误差。因此，现有积分理论隐含一个矛盾：精确性要求的小区间的Δxi=0与可积性要求的Δxi ≠0矛盾。此情况与传统无穷小法或极限法求导所产生的问题毫无二致，不过更其隐蔽罢了。

在笔者基于增量中值的导数的微分定义以及上文公式(3)、(4)、(5)可以明显看出(同时由于不再需要无穷小或者并不真的存在的极限作为理论的必要条件)，微分与积分在新观点下并无本质区别。因为只要函数在某区间连续、单调，无论怎么分割这个区间还是不分割，都会有同一命名。当然在非严格的意义上，名词的区别还是可以保留的：积分是微分的累加或大些的微分；微分是小些的积分或积分的更小部分。可以看出，这个定义完全是相对的。本质是：小的微分的累加成积分，但此积分仍旧可以看成是一个大些的微分。这个观点，也可以由传统的微积分基本定理(函数的增量等于积分)看出。再考虑新诠释下的微分定义(公式(3))，我们可以得到

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)=f(x)(b−a)=f(x)Δx∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=f(x)(b−a)=f(x)Δx(6)

公式(6)左边是著名的微积分基本定理，右边是新的微分定义(公式(3))，其中的 F(b)−F(a)F(b)−F(a) ，是函数的增量。只不过传统理论不可能把这个“函数的增量”看成是微分(传统上微分的定义是函数增量的所谓“线性部分”或“线性主部”)，而按笔者理论或者解释，它完全符合精确的“微分”定义(即公式(3))。由公式(6)看出，积分、微分本质上是一回事。同时，在笔者解释或理论下，中值定理的内容，就是理论的出发点，它更多的是定义而不是定理。

此外，传统极限理论下的微分定义，为了回避极限(更何况是不可达极限)这个尴尬的概念，只能把微分定义成是(起码可以是)宏观量。仅就这一点看，与笔者理论诠释下的微分概念倒是一致的。但在使用微分(其实也是微分的唯一真正用途)求积分时，传统理论又不得不令其趋于0，也就是取0为极限。而这一切均被隐蔽于小区间数量的趋于无穷上。于是其实问题又回到了出发点。

总之，今后的积分，再无lim∫之类表述的必要，也不需要∫，只要∑就完全可以了。

参考文献（1）

附录：陶诗轩《实分析》一书中康托定理的证明

定理8.3.1 (Cantor定理) 设X是一个任意的集合(有限的或无限的)。那么集合X与2X不能有同样的基数。

证明：用反证法。设集合X与2X有同样的基数。那么存在X与X的幂集之间的双射。

f：X→2X。现考虑集合

A：={xϵX：xɇf(x)}

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