数学分析综合（四） (5-3)

设有曲线在横坐标x点的增量(坐标差)函数 Δy=f(x,Δx)Δy=f(x,Δx) ，其中Δx为曲线上二点(x及x + Δx)间的横坐标(自变量)差或曰增量。现将其写成过此二点的、并且仅取此二交点值的该曲线的割线方程形式为 Δy=K(x,Δx)⋅ΔxΔy=K(x,Δx)⋅Δx 。这里的K为该割线的斜率，它同样是x及Δx的函数。显然，如果割线上的点，并不局限于它与曲线的交点，因此不失一般性，我们令该割线方程中不包括在斜率K中的Δx为Δg，其为割线上任何二点(不局限于与曲线的交点)的坐标差或增量。相应地，Δy也变为Δh，也就可得到割线上的不拘于与曲线的交点的一般方程 Δh=K(x,Δx)⋅ΔgΔh=K(x,Δx)⋅Δg 。显然，当该割线与曲线的二交点合为一点时，也就是当Δx=0(特别强调，根本无须什么Δx→0)时，该割线变为切线。由此，我们可以得到导数的一般定义：

Δh/Δg(当Δx=0,Δg=1 时)=K(x,Δx)⋅Δg/Δg=K(x,0)⋅1/1=K(x,0)Δh/Δg(当Δx=0,Δg=1 时)=K(x,Δx)⋅Δg/Δg=K(x,0)⋅1/1=K(x,0)(1)

几何意义上，也就是曲线的切线斜率。代数意义上，就是该曲线与某一直线联立求得重根解时该直线方程中自变量的系数，即斜率。显然，此定义下不存在贝克莱悖论，也不再需要什么无穷小、极限概念。而且实际与所谓“第一代微积分”的牛顿、莱布尼兹求导方法相一致，也是他们实际所做的，只不过把他们无意中做除法后得到的结果彻底解释清楚了。换言之，笔者所做的，只是彻底诠释了牛顿、莱布尼兹求导法，并给出相应的导数定义，使其今后可以放心大胆地使用而已。注意，当曲线与割线的两个交点合二为一时(Δx = 0时)，作为导数第一定义的1式最左边的比式的分母Δg =1而不是0，因此不再涉及分母为0所产生的一切问题。这是由于变量除法所要求的Δg/Δg = 1/1 = 1，而如果把导数直接定义成曲线函数与其自变量的增量比Δy/Δx，则无论Δx=0还是Δx→0，显然函数中的所有自变量Δx均为0，因此会产生分母为0(也即0/0)的问题(贝克莱悖论)。

很重要的一点，设x1为上述x及x + Δx之间的一点，可令

K(x,Δx)=K(x1,0)K(x,Δx)=K(x1,0)(2)

等式的左边为曲线两点间的割线斜率，等式右边为此两点间的一点x1的切线斜率(也就是传统上的该点的导数)。由于二者数值相等(平行线斜率相等。实际上，这就是著名的中值定理)，因此该曲线在x1 点的导数(切线斜率)，完全可以也定义成过曲线横坐标x、x + Δx两点的割线斜率(可看成是导数的第二定义)，在物理上，就是某时段的“平均速度”。因此，结合导数的两个定义可知，导数在物理上就是速度——无论是瞬时速度还是平均速度。而由2式，x、Δx、x1三者知道两个，即可求出第三个。于是，导数由原先的只涉及一点可以扩展成涉及两点。

由(1)式可以看出，极限法(标准分析、所谓第二代微积分)求导所倚赖的曲线函数增量Δy与其自变量增量Δx之比在0点的极限根本就不可能存在：如不做除法，分子、分母中的Δx都为0进而得到0/0。而做除法，由1式可知，此时只有系数K中的Δx = 0，而分母中的变量无论写成什么，都始终等于“1”。因此不存在趋于0或等于0的问题。也就不能把它的运算结果看成是曲线函数的自变量Δx→0(而又不等于0)的结果。

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