数学分析综合（四） (5-2)

图灵机的所谓“不停”状态，本质上是“永不停”，与前二者一样，都需要“经过”无穷多步骤、时间才可确定，换言之，也就是不可在有限的步骤、时间中确定，也就是实际不可确定而已。三个问题在这方面是同构的。同时，这三个问题都是递归可枚举但非递归的(补集不是递归可枚举的)，原因经上面的分析已经可以一目了然了：三个问题中的补集(不可判定、不停机、不可数)，都要在无穷步骤下才可真正实现，也就是实际上无法实现，这就是它们非递归的根本原因。篇幅所限，不再详述。

因此结论是： 正是由于哥德尔定理得到了一个事实上为真，但却在系统中不可证且不可判定的命题，因此有人认为，机器、算法不可能超越人脑，人的智力比人工智能强。也有人认为，这一结论的理由不充分，其中包括哥德尔本人。但未见他们提出令人信服的理由或证明。此问题争论了几十年。由于本文给出的分析，可以看到，一个不可判定命题在系统中只可定义，不可真正在有限域上被表达。因此，根本在系统中就得不到那个我们明明可以知道其为真，但却不可判定的命题。因此，据此为理由认为人脑比机器、算法强的论点，也就不可能成立。计算机、算法、人工智能，起码在理论上，并没有一定不能超越人脑的限制。就是有，也是物质、材料，具体说就是分子、原子层面的区别所致，而不是逻辑、数学、算法层面的。

12. 一种不需要极限及无穷小概念的微积分新诠释

在前期工作的基础上 [ 11]，可知在新的解释及理解下，牛顿、莱布尼兹法求导(第一代微积分)实际完全足够，它是充分的。而且不再以极限或无穷小作为理论的必要条件，更何况这个极限并不真的存在。由此，消除了微积分理论中表观上的矛盾(贝克莱悖论)，因此理论不但再无明显或潜在的逻辑问题，而且可以达到理论的极简化以利于教学和理解。

一、除法、比式、消去运算的实质

之所以要着重澄清这些相关概念，是因为牛顿、莱布尼兹在求导过程中，首先就作了除法，以“消去”分母中的自变量。极限法(第一代微积分)也一样。

除法：某数或量，被分成若干份，每一份是多少。

比式：最终得到的数值或变量，实际是折合成分母为1时的分子值。比如物理上“速度”这个概念，就是“单位时间物体所运动的距离”，而“单位数值”就是“1”。因此速度的数值可以不写分母上的“1”，但反映真实关系的物理“量纲”，却还是一个“比式”形式，也就是“距离/单位时间”。

消去：实际就是做除法和求比式的值。也可以说前二者是通过消去操作来具体实现。结果当然分母被“消去”的部分应该就是“1”。消去，就是分子、分母中的相同部分都为“1”。如12/3，消去分母上的3，就是(4 × 3)/3 = (4 × 1)/1 = 4/1，当然数值就是4，但4严格而言丢失了“比式”这个信息。比如4就只表示“4个人”，而4/1严格而言可以表示“每一组4个人”。后者信息量大。

二、导数

1、导数定义(第一定义)：曲线上某点的切线斜率。

比如物理上的瞬时速度概念，应该定义成：物体受力做变速或曲线运动，在某瞬时该力突然解除，物体做匀速直线运动时的速度。

由于以上定义，只要能够求出曲线的切线斜率的，都可以。因此求导方法不拘于一种牛顿、莱布尼兹法。但由于该法非常有效且影响广泛，因此值得详察。

注意，以上导数的定义，与传统牛、莱法或极限法(标准分析)的区别：虽然在数值上相等，但传统定义会产生贝克莱悖论的区间无穷小或并不真的存在的极限。而这里的定义完全没有无穷小和极限的任何表述。其实它就是宏观量。当然不排斥无穷小，但其不是必要条件。

2、牛顿、莱布尼兹求导法的实质

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