数学分析综合（二） (5-5)

此外，如果实数集合(连续统)是可数的，积分中的“测度”概念应该更加清晰与完备。我们知道，测度是定义在连续统之上的，而且具有“可加性”，也就是可数性。但连续统如果是不可数的，其子集合当然也不可数。也就是没有可加性(或对等的“可减性”，即可数地不断减少)。于是，必须具有可加性、可数性的测度，显然对整个连续统(实数集)是非完备的。这是因为可数的集合，不可能和不可数的集合的元素一一对应所致。因此本质上，根本无法证明现有很多数学结论是正确的，理由再简单不过了：所有数学命题、运算规则、运算步骤及这里提到的测度都只能是可数的，而数学所要研究、表达的对象、元素、集合却是不可数的，由不可数的定义即知，它不可能被可数地表达出来。也就是说，测度甚至整个数学规则、步骤、运算等，对其所要研究、表达的对象(数系、元素、集合)是不可能完备的。而如果连续统可数，这个问题自然就不存在了。而整个数学理论的基础，也可以大为简化、精练而获得澄清，很多内在的矛盾也可以实质性地被消除。正如普特南等所说的，“如果有某种方式可以使连续统可数，那数学基础方面的很多问题都可以迎刃而解”(大意)。

6. 可数、不可数概念的概率角度分析

从概率的角度，也许可以对可数、不可数概念有一个更深入的理解。我们说，随机地、“盲目”地“点”整个自然数集合中的某一个，点中任何一个自然数的的概率是可数无穷分之一(注意不应是0)。但我们去“点”一个实数集，点中任何一个实数的概率难道是“不可数无穷分之一”？我们一个一个去“点”具体实数时，不正是一个可数的过程吗？按可数定义，可数集合中的任一元素，总可以在某“数法”(对应关系)下被数到。于是才会有某一个元素被数到的概率问题；而按不可数的定义，前文已述，在任何“数法”(对应关系)下都不能保证任何元素肯定会被最终数到，也就是总有元素永远不会被数的，而且极其多。而更其重要的是，不会被数到，也就是无法被“计数”或“统计”，如此，怎么可以有概率值？也不会有层叠无穷观所必需的一一对应概念(就算我们说A与B不能一一对应，那也必须有个C，它可以和A或B一一对应，因此还是离不开一一对应概念的)。

总之，“选取”实数的的动作只能一个一个地选，因此只能有可数无穷多。而实数如果是不可数的，也就意味着只能在一个实数的真子集中去选取。也就是有些实数是没有任何机会被选到的。但具体是哪些或哪个或那些个呢？问题出来了。正如我们按此法选自然数一样(自然数虽然无穷多，但任何一个都不能说没有机会被选到)，任何一个实数也都有机会被选到。更明确地说是可数地被选到，因为前面说了，“选”这个动作本身，就是个可数过程。于是，所谓不可数无穷多的实数被选到的机会不得不说是可数无穷多分之一。这难道还不是一个矛盾？因此，从这里也可以看出不可数概念、层叠无穷观的内在困难。

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