数学分析综合（二） (5-4)

由康托定理导致的“层叠集合观”，仔细分析，实际要依赖于时间进程。因为显然，所谓“某集合的所有子集合的集合”，该集合自己要先已存在，然后才谈得上其子集合。这里的“先”、“然后”，都是时间的顺序、进程概念。时间是无尽头的，显然趋于无穷，而层叠集合观所要求的一个比一个大的集合，也没有最大的。二者完全协调，而且时间进程的无休止，是更基本的因素。如果说所有的“所有子集合的集合”，不必依赖时间因素，行不行？我们说不行。如果在某时刻、瞬时，所有的“所有子集合之集”也就是所有层叠集合中的各层的集合都同时存在，则必是一个“实无穷”的结构，而按照康托定理，这是不可能的。而在某一时刻(没有哪怕再小的时间进程)的一个潜无穷序列是根本无法描述、定义、想象的。因为显然，在某时刻，是不可能想象什么“一个比一个更大的集合”的。注意，这里的无穷与层次，与自然数的情况不同。自然数虽然一个也比一个大，而且无穷尽，但仍可以将其看成一个整体，也就是实无穷的“自然数集合”。但由康托定理，这在层叠集合观中不再被允许。康托定理不能承认有这个最大集、整体集存在。因其“证明”的就是这样的整体实无穷集合不存在。但如果时刻、瞬时不能有这种层叠集合，在依赖时间进程的层叠集合观也有问题：因为它有一个每层的“产生”速率问题。这个速率本无限制，也就是在某瞬时可以趋于无限，于是这又成了瞬时下的实无穷观了，因此，无论怎么看，层叠无穷观都是内含矛盾的。既然这个类似悖论的矛盾是由康托定理而产生的，这就说明康托定理的结论有问题，其证明过程有问题。根据本文前面对康托定理证明过程的分析，这个问题并不难发现。也就是那个“x不属于f(x)”的条件是一种特殊的对应方式，不具普遍意义。其与康托对角线法同构，本质上并无不同。值得注意的是，在康托定理的实际证明也就是与康托对角线法类似的证明中，x的个数是可数的，也就是可以列出的。但一般的康托定理的结论，是对任意大的不可数都成立。显然，这是一个超出其实际证明的一个推论，而且是未经证明的推论。也就是在这个推论中(不是实际的证明中)，上面所说的x的个数，可以是任意大小的不可数的。而如果x就已经是不可数的，难道还有“比不可数还不可数”这么一说吗？就算没有，两个不可数集间不可一一对应，究竟指的是什么，如何验证？我们看到，康托对角线法以致实际的康托定理的实际证明，都是由可数推及不可数，但不可数是如何可以推及“更不可数”的？对角线法肯定不行，因为不可数集已经肯定不能被排成一个纵列了，所以无法再作此假设，前提不再存在，也就谈不上以下的证明过程了。康托定理的证明，表面上与对角线法不同，但经本文前面的分析，其实本质一样。总之，退一步讲，就算康托对角线法等证明方法确实已经证明了有不可数集(笔者早已论证，这实际上并未实现)，康托定理为人们所忽略的是，也不能外推到比实数集更大的集合(理由上面已经讨论了)。以下我们可以更仔细地讨论一下这个问题。我们说，可数，就是任选一个可数集中的数(或更一般地“元素”，且无论多大)，然后按某种次序(比如从小到大，或像数有理数那样的排列顺序)，总可以数到该数。而不可数，则同样任选一数，就找不到这样的规律、顺序等来保证可以数到该数。这就意味着，我们如果定义、规定了一个在不可数集域上的性质、对应关系，或与其它不可数集合全域上的一个性质、对应关系，我们不但无法一一验证它，也无法保证该定义、规定的可实现性或真实性。而这一切，都由康托定理、也仅由康托定理得之。由此看来，康托定理如果无瑕疵，对能否与可数集一一对应，起码是可验证的(因为前文已述，如果可数其任何元素就总可以按某顺序、规律早晚被数到)。但对两个不可数集间的一一对应关系可否实现，就无法验证了。也就是无法定义(无法确定定义本身是否正确)，而这个结果正是由康托定理得到的。但康托定理本身(在得到、推广到两个不可数集间的对应关系时)就依赖于(建立在)这个不确定的、无法验证的不可数集间的某对应关系之上的(如康托定理证明中的定义“x不属于f(x)”)。即：如果康托定理成立(可验证、可定义)，则可得到对不可数集间的对应关系而言，它不可验证；由此又可推出(得到)康托定理对不可数集的论域本身是不可验证的，也就是说，康托定理对不可数集间的对应关系的断语是不成立的。因为成立与否不可验证，因此与其初衷也就是原先的结论矛盾。以往，人们显然只认为由康托定理推出了层叠无穷，而没有意识到层叠无穷观所面临的问题，在康托定理的实际证明过程中已经存在了，因此这个证明大成问题。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。