数学分析综合（三） (6-1)

7. 人工智能的新领域：计算机在康托对角线法的反证法证明无效性的验证上的应用可能

不久前，围棋界的计算机人机大战，最终以计算机大获全胜而告终。这引起了全社会的震动。又一个看似不可能的神话被打破了。受此启发，笔者联想到，能否把计算机引入康托对角线法成立与否的分析中呢？答案是肯定的。起码笔者是这么认为的。在这个问题上，笔者反倒认为，计算机只有做更好。计算机起码不会盲目迷信权威、外国人；也没有面子问题；它不会忽略推理中的任何细节；它会按照所设条件(实际就是假设)严格执行相关程序，如有缺失程序将走不下去；这必将使所有假设不能再被“隐含”。而人们通常为了维护自己的某一顽固信念，经常会有意无意地隐瞒、变更、曲解某些前提条件及其解释或定义。当前，尽管没有这样的计算机程序，但我们不妨按照计算机编程的思路来分析康托对角线法。首先，可数的定义，是只要有一个具体的对应规则(函数)下某集合可以和自然数实现一一对应即可；而不可数，则是在任何一个对应规则下都不能有这种一一对应才行，也就是它不能依赖于具体的某一个对应规则。也就是说，只要在证明中发现或者假设了一个具体的对应规则，就足以揭示这个证明没有证明实数不可数。由此，我们可以发现，在这个程序中，如果康托对角线法要能够实施，必须预先严格定义(设定)前述各项函数关系(对应规则)，比如表中实数个数与其位数的一一对应；每一位都有不止一个的状态，一一对应必须是依次有序的等等，只有如此，在“IF…THEN…”之类的计算机语句下，康托对角线法的反证法所依赖的前提条件也就是假设将会暴露的清清楚楚。否则程序是运行不下去的。而人却未必有这么严格，它因人而异，取决于具体某人的能力、诚意、关注度、思维的严密性及专业水准等等。显然，计算机程序将会根据可数、不可数命题的严格定义，逐条对比各项所设条件(假设)，如一旦发现多余条件(假设)，会立即得出“证明有误”的结论。当然，如果我们以计算机编程的思路、眼光去严格审视康托对角线法的反证法运用，我们当然可以得到与计算机一样的结论，毕竟，程序还不是人编的？只不过计算机程序如果缺少运行下去的条件，它就确实运行不下去而已，它很严格，而人也许出于什么原因可能有意无意地选择比较马虎的甚至在逻辑上是属于“诡辩”范畴的、违反逻辑规则的处理方式。

8. 对比、印证与启发：将可数的有理数运用于康托对角线法可能出现的情况

以下我们与有理数相互对比，谈谈一个证明的假设阶段就可能出错的逻辑问题。

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