数学分析综合（二） (5-3)

康托定理在集合论中的地位毋庸讳言。其与对角线法的关系，早被论及。但笔者一直似未见具体分析。笔者早年的著作中，对此曾有分析 [ 4] [ 5] [ 6]。笔者甚至怀疑，有人也许认为对角线法“过于”直观、简单(这倒成为缺点了？)，不够“数学”或所谓的“专业”，因此在自己的相关著作、讲义中绝口不提对角线法，而以更复杂、抽象的康托定理为出发点去讨论问题，讲授课程。笔者百思不得其解。只能说，把一些简单的概念搞的复杂一些，玄虚一些，是一些学者不自觉的本能罢了。此类做派，绝对无补于问题的讨论。笔者这里就是要揭示二者间的同构性，以期还理论的本来面目。下面直接引述陶诗轩的实分析一书中康托定理的证明(详见附录)。将该证明中的A看成对角线法中在对角线上逐位求反后得到的那个实数；而将x看成是对角线上的每个具体的自然数，这里不是指位数；f(x)指的是对角线法中纵列所列出的那些实数。这里重点举例讨论一下x与f(x)间的关系。

如： 0.1⋯=f(x)≠x=00.1⋯=f(x)≠x=0 ，这里左边列出的是康托二维表中的第一个实数，其小数点后的第一位是1；而最右边的x=0，是指对角线上对第一个实数的第一位“1”求反后的那个数，当然为“0”；

0.10⋯=f(x)≠x=010.10⋯=f(x)≠x=01 ，这里左边列出的是康托二维表中的第二个实数，其小数点后的第二位是0；而最右边的x = 01，是指对角线上对第二个实数的第二位的“0”求反后的那个数“1”，加上前面的第一步得到的“0”，为“01”；

0.001⋯=f(x)≠x=0100.001⋯=f(x)≠x=010 ，这里左边列出的是康托二维表中的第三个实数，其小数点后的第三位是1；而最右边的x = 010，是指对角线上对第三个实数的第三位的“1”求反后的那个数“0”，加上前面的第一、二步得到的“01”，为“010”；

依次类推。注意，这里的01 ≠ 010，个位看成在右边。

可以看出，这里的关键是条件“x不属于f(x)”，由上面的讨论，这是由“逐位求反”得到的，它当然依赖于二进制下的每位有两个状态这个前提。而同时实际在系统中又假设了f(x)表示了所有幂集的元素(也就是所有子集合)，于是x又应该属于f(x)，也就是它的元素，从而产生矛盾。于是，我们看到康托定理的“证明”与康托对角线法间的本质相关性。尽管通常它们被隐藏在了那些看似“严格”、抽象、费解的数学行话下了。二者是同构的。我经常、同时也完全有理由怀疑，专家们对他们频繁使用的这些“行话”的真实理解是否到位。

由以上分析，康托定理的有效性与康托对角线法一样，是成问题的，其结论对无穷集合而言，必须被否定。也就是，它与康托对角线法一样，也是要依赖于特殊的对应方式的，因此不能由此得到普遍性的结论。由特殊到一般的推理，只能是推测性的，而不是确定性的。

特别值得注意的是，既然康托定理与康托对角线法同构，那么，反过来，由康托定理，我们也可以看出康托对角线法的本质。上面那个对A的定义很明确，正如我们不断强调的，康托对角线法中在对角线上靠逐位求反得到的那个实数(康托定理中是自然数集合的一个子集合)A，不过是定义出来的(见上面引文中A的定义)，而并不是证明出来的。这正是笔者一再强调的事实 [ 7] [ 8] [ 9] [ 10]。从与康托对角线法同构的康托定理，我们很清楚地看到，最后的那个悖论性的矛盾，是直接由A的定义推出来的。而同样的结果，在康托对角线法中，却被认为是“证明”出来的。

5. 再论“层叠集合观”的困境及与康托定理有关的内在矛盾及测度论所隐含的问题

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