数学分析综合（二） (5-2)

总之，根据戴德金分划理论，每一个戴德金分划决定一个唯一的无理数；同样，反之亦然，每一个无理数决定一个唯一的戴德金分划。但按康托对角线法，无理数是不可数的。但有理数可数。于是，可数的有理数，可以实现不可数个只由有理数构成的戴德金分划，就是戴德金分划理论成立的必要条件。此问题似乎这么多年，就没有人明确提出过。但显然是个问题。其实，两个不同的戴德金分划，充其量也只能有一个有理数不同。即在戴德金分划A中有一个有理数在分划的右集合(元素都大)中，在戴德金分划B中，该有理数在分划的左集合(元素都小)中。而且这两个分划只有这个区别，其它元素(有理数)在分划的左右位置不变。由于最极端情况下，也就是不同分划，只涉及一个有理数，那么，有理数的总数是可数的，于是，戴德金分划的总数，充其量也是可数的，不可能不可数。除非一个戴德金分划可以对应起码无穷个无理数，但这显然不符合戴德金分划理论。此问题应该称之为“戴德金分划悖论”，其实本质地说明了现有实数不可数理论是有问题的。

3. 康托超限数理论中的隐含矛盾

综上可以看出，所谓传统康托理论(集合论)中的“层次无穷”的相当繁杂而无任何实际用途的“超穷数”系统，是传统理论的“定理”性的结论，它完全脱离数学其它分科的实践。某种意义，是康托的无奈之举。正是由于对角线法，康托不得不得到这个结论。这个结论显然并不符合他实无穷的初衷。因为由康托定理，没有最大集合。只能是一个向上“开口”的无穷大，本质显然是回到了潜无穷。而康托一再倡导的实无穷，不得不退居次席，成了在局部才可以实现的了。所以对康托而言，他想必很清楚，他的理论在总的方面是失败的。

特别值得一提的是，笔者最近发现，康托的理论，实际是隐含矛盾的。因此这就不仅仅是一个繁琐、无用的问题了。这个矛盾是：康托从实无穷的自然数集合(阿列夫0)出发，用不断、反复求子集合的集合的方法，依次得到基数序列阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2…等等。由与康托对角线法密切相关的康托定理，没有最大基数，因此这个序列没有最大元素。如果这个序列被看作潜无穷过程，那么，由于其与自然数集合是同构的，也就是一一对应的，于是，为了理论的一致性，这里的自然数集合也应该是潜无穷的。而如此一来，就不会再有基于实无穷的“所有子集合的集合”，也就是不可数集合存在；而如果该阿列夫序列可以被看作一个实无穷集合，于是其必如自然数集合一样，有一个所有子集合的集合(幂集合，不可数)，而这个集合按定义，应该还在原先的那个阿列夫序列之中。也就是原序列的元素之一，而不是在原序列之外。也矛盾。此矛盾笔者称之为“潜无穷、实无穷悖论”。它充分说明康托理论是隐含矛盾的，并不像以往人们认为的没有矛盾。因此，我的努力，实质上是试图恢复康托的初衷。但颇具辩证意味的是，这是通过指出其对角线法的逻辑问题来实现的。显然，一些人认为的康托现有理论如果被修改，就会导致现有数学大厦的倒塌，会彻底破坏全部数学的基础的看法是没有任何根据的。

4. 康托定理与康托对角线法的同构性分析

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