微积分基础研究 (6-5)

此处直接引用笔者在2012年有关微积分的第一篇论文中关于图二方法的一小段来佐证：“此实际就是中值定理的结果。我们完全可以不像图1那样，令B点趋向A点，曲线的割线旋转，斜率变化。而是沿箭头方向平推，直线斜率保持不变。A、B点最后汇集于C点（割线变切线）。此时依赖于曲线上A、B二点作为端点的△y/△x

，变成0/0，无意义；但不依赖A、B点作为端点的割线斜率 △y,/△x,在成为切线后仍有值，而在割线状态时，△y/△x = △y,/△x,，都是平均速度，不过一个仅限于曲线范围（定义域仅在曲线定义域内），另一个可以不限于曲线的定义域范围而已。当割线（平均速度）变到切线（瞬时速度）时，斜率数值不变，完全不用考虑什么极限。ε-δ、潜无穷、无穷小等等，这一过程的描述，更能突出本文的导数求导思想与牛顿法及ε-δ法的本质区别，也更好理解。我们可以理解成是用一个更直接了当的方式，彻底摒弃潜无穷、无穷小、极限之类的概念，而得到中值定理。”

另一个例子，比如有速度为0，也就是停止的一个物体，如果按照极限法，在某时点瞬时速度只是一个不可达极限，是近似的，也就是0近似于0，这当然不对。而就是在变速运动下，在某时点瞬时速度如果为0，如果按图二情况，匀速运动与瞬时速度的数值一样，也没有什么近似不近似的。而一个匀速运动瞬时速度与平均速度数值完全一样，难道也只是近似值？当然也不成立，因为此情况下瞬时速度更是平均速度了。

由上面的分析可知，人们为了解决第一代微积分的贝克莱悖论问题，本来搞出了极限法的第二代微积分，但其实在实践中问题多多，很多人就试图悄悄地转回第一代：不就是一个不精确吗？近似就近似吧。反正比什么不可达极限还好理解些.................。总之，第一代是错的简单，直接，而第二代微积分是错的曲折、隐蔽而已。

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