微积分基础研究 (6-4)

以上，大致就是微积分教学乃至基础理论的大致发展脉络。由于理论中的矛盾问题并没有真正解决，所以只得进行调和、模糊、掩盖，尽可能地把垃圾“扫到地毯底下去”。正如大数学家、逻辑学家罗素说的，“那些数学教师眼看说服不了我们，就叫我们无条件地相信那些明显的诡辩........”（大意。引自«数学，确定性的丧失»一书）。马克思也说过（见其«数学笔记»），“......数学家说的什么可以不断趋近永远也到不了的昏话”，欧拉也不同意极限法那一套等等。罗宾逊后来搞了个非标准分析，实际是用集合论的行话，把无穷小然后舍弃这一套又名正言顺地请回来了。它本质上就是华丽包装后的第一代微积分。难怪柯朗（就是后来提出千禧七难题的“克雷研究所”的创建人。克雷，柯朗也）的«什么是数学»一书的附录中，其再版编撰者说道：“柯朗所说的我们应该极力反对的那些错误，好像又被冠冕堂皇地请回来了”（大意）。总之，整个微积分基础理论，是真的一锅粥了！（当然是在我提出新诠释之前）

再提一句，就算在第二代的极限法微积分中不算其极限法导数本身中的问题，也是把矛盾从导数推给了微分。因为其导数dy/dx不能这么写了，但微分dy、dx，又是什么呢？它当然已经不是无穷小了，因为第二代微积分与无穷小是划清界限的，是要回避它的问题贝克莱悖论的。于是是趋0极限吗？当然也不行，因为它们趋于0，其极限值就是0,0作为微分，能干什么？0的累加作为积分，是不是还是0？于是只能说dy、dx，都就是宏观量，不是无穷小，也不是趋0极限。只是在对其积分时，它作为不断变小的小区间是随着小区间数量的趋于无穷多而趋于0的，如此地绕了一下，掩盖了小区间dx的趋于0所产生的问题。其实，这里面的问题一目了然：不管数量是不是无穷多，反正小区间dx是趋于0的。一个变量自身趋于0，其极限只能是个0，对其累加还是0，加无穷遍也是0，于是又得说积分不是像第一代微积分那样地被理解成“累加”什么的，它只是一个极限云云。拆东墙补西墙的味道出来了吧？有人一天到晚在那里标榜什么“数学美”啥的，这个东西“美”？

最近看到网上有人贴出的某外国视频中说：“.......基于一个不存在的概念“瞬时变化”而导数根本就不是用来测量瞬时变化的..........距离、时间函数的导数在0秒等于0的真正含义是第0秒附近速度的最佳近似，是匀速0米每秒，当时间dt趋于0.......，我们只说运动速度近似匀速0，近似而已”。按他们的意思，牛顿、莱布尼兹的第一代微积分不就足够了，还要柯西的第二代的极限法微积分何用呢？他们说的不就是这个事儿？贝克莱悖论不就是这个意思：如果不是0/0，那就不是一个精确值。以上议论，当然是针对图一所示的经典情况的。也就是割线围绕导数点旋转（斜率改变），最后成为切线的情况的。但是，就算是割线向切线过渡的过程，难道只有这种“旋转”一种情况吗？当然不是的。比如图二所示情况，割线平行于中值定理意义的中值点的切线，然后非旋转地平移，最终于切线重合。此时割线到达切线位置的整个过程中，不断平移的割线的斜率不变，成为或到达切线位置这个斜率也不变（因为只是直线的平移），在物理意义上，这等价于平均速度与最终的瞬时速度在数值上始终是一样的，没有什么谁近似谁的问题。于是，这个极限点的斜率（导数），还是什么平均速度的“最佳近似”吗？当然不是，因为在整个过程中，斜率的数值是不改变的，难道一个数值与和它等值的数值是近似关系？不可能。可见，说什么瞬时速度是近似（尽管是所谓“最佳近似”）的说法并不是其特征定义。此外就可以看出，图二中A、B二点随平移进程最终到达C点时，此时的增量比是无意义的0/0，如欲不是0/0，斜率就应该以其它两个点A,、B,来决定。此例非常有力地反驳了上面那个外国视频的说法。

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