微积分基础研究 (6-3)

牛顿、莱布尼兹以函数值为主导的、在其基础之上的导数概念（所谓的“第一代微积分”），是基于无穷小和舍弃高阶（其实并不对）无穷小的导数（瞬时速度），尽管牛顿后来提出了“最终比”的概念，这有了以后极限概念的意思，但却是一个明确的“比”（分式、分数），与后来的作为一个极限值的导数是不一样的。→ 贝克莱提出那个著名的前面微积分导数理论中的悖论 → 柯西、外尔斯特拉斯等试图回避或解决（他们自己当然认为是“解决”）贝克莱悖论问题，提出极限法的导数思想（注意，著名的数学家欧拉是不同意的！），其实是彻底废止了无穷小概念，导数（瞬时速度）不再被看成为一个无穷小的“比”，也就是本质上不该再用符号“dy/dx”来表示，而只能用“y,”或“f,（x）”来表达（所谓的“第二代微积分”）。比较严格的教科书中，都有这个说明。唯有国内教材，往往稀里糊涂。 → 用极限法表示导数（瞬时速度），实在是拖泥带水、逻辑混乱，其实还隐藏着与第一代的牛顿、莱布尼兹无穷小微积分同样的贝克莱悖论，当然此点很多人没有发现。于是在教学中总给人一种牵强附会、挖肉补疮的感觉，还远不如第一代的无穷小好理解些。那里无非就是有个无穷小，还是“高阶的”（其实当然并不是），于是舍弃了它而已。有矛盾，但很简单明确 → 鉴于此，很多教科书和老师，干脆采取了现实的“绥靖主义”、“调和主义”，把本不该相容的无穷小法与极限法“一锅烩”或调成个“鸡尾酒”，还煞有介事地给出了一个与极限定义有关的无穷小的定义，给人以一个假象，似乎无穷小与极限是一回事似的，求出了极限，就等于求出了无穷小后再舍弃它了，如此，起码无穷小反正还是个“东西”在那里，比之什么虚无缥缈的、只是作为一个不可到达的极限这种东西好理解的多（不就是大不了实在不行就舍弃它吗？反正它也是个无穷小，还是“高阶”的，舍了又咋地了？）。这实际上是又回到了第一代微积分的解释，只不过在理论、教学的表述上是以极限法的形式，在那里装门面，搪塞掉那个明显的贝克莱悖论，实际使用中，还是“舍弃无穷小（所谓“高阶”）”上，以尽可能地回避极限所带来的理论困境。甚至有些教师还说出“无穷小是高等数学中极其重要的概念”这样的话来。对这些人而言，无穷小就是极限，极限就是无穷小，以至以讹传讹，居然有众口一词之势。这一套当然是很不严谨的，是禁不起推敲的，但架不住真正去“推敲”的学生乃至于教师甚至教授又有几个？反正也不影响微积分具体计算公式的应用，因此这种稀里马哈的处理方式，反倒渐成主流，特别是在工科领域的微积分教学中尤甚。以至于久而久之，无论学生，还是相当多的教师，竟然“不知有夏”，对极限法的来龙去脉毫无所感、所知，一味地只在那里重复他们从小就被教给的“舍弃无穷小”以得到非精确值的“导数”这一套（第一代微积分），而极限法微积分（第二代微积分）不过是用来装门面的。一旦有人较真，真的跟这些人理论上了，就抬出极限这一套，起码还可以抵挡一阵子。比如，有人提出整个微积分理论中，就应该用约等于号“≈”取取代等号“=”，但很多人又不干了，敢说我们微积分不精确？我们求的是极限，而极限值是精确的，这一套又来了，.........。既然如此，为什么不把“无穷小”一词，以下发文件的方式从所有教科书中彻底地删除呢？理不能两头都占。→ 整个事情到了这个地步，其实就没有什么道理可讲了，因为涉及很多人（大大小小有头衔的人）的面子、威信、权威、自尊心问题了，再加上个别人“认错”也无用，于是在那里硬扛着或干脆不理不睬算了，反正什么也不耽误，教师、教授、院士照当不误，这还是指的那些心里其实明白的主儿。还有更多的是他自己逻辑水平到不了发现问题的地步的，这就更不用说了。什么事儿，一旦涉及很多人以及很多人的利益，就其实成了“政治”，成了“江湖”，而不是什么学术了。“少数服从多数”，比之政治领域一丝不差。能提出问题的反倒成了“非主流”，如此而已。

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