数学分析综合（一） (6-5)

此外，笔者在文献 [ 10] [ 11] 中讨论了所谓“十–一混合进制”下及“三维立体”下的康托对角线法在证明实数集合不可数的适用性问题。指出了其局限性。也就是说，对角线法的使用严重依赖于多进制的每位多值性(而且必须是处于“激活”状态的)和多进制下的、从第一个实数及第一位开始的(隐含这张表存在这个“第一”为条件)每位与实数个数的逐位、逐个的严格的一一对应(对角线所要求的)。而这当然构成一个特殊的函数关系，也就是对角线法所依赖的隐含的也就是在对角线法中没有明说的前提条件。但注意，实数可不可数，是没有这个前提的，也就是完全不依赖于这个前提，即对实数可数、不可数的定义而言，这个前提条件(隐含着的)，完全多余。而这也是笔者论证康托对角线法没有证明实数不可数的依据。换言之，如果我们改动上述函数关系的任何一个(作为数学，这当然必须被允许)，都足以使康托对角线法无由进行下去，其结果也就是无法证明实数不可数。当然，在“十--一混合进制”下，由于仍旧不能彻底摆脱多进制因素，所以如果我们不按每位而是按该进制下的“每十进制段”来改变每段的一进制表达，找出不在该表中的实数仍是可以的，但这不是典型的“对角线法”了，而可以称为是“类对角线法”(篇幅所限，从略)。该文 图1所示三维情况，也是一样。尽管把这两个平面展开成一个无始无终的平面，如不改动其中实数已经排好的位置(严格说，任何的一个可数排列，都要依赖于一种具体的排法。比如有理数可数，就不能随便去排，如把作为有理数的整数1、2、3、4、......次序去排有理数，就就永远也排不出所有有理数。因此严格说，一旦假设一种排法排出了所有一个集合，就不能随意更动其排列顺序，对无穷集合应该如此)，就无法再用对角线法，因为它没有对角线。但我们仍旧有办法可以找出一个实数不在此表中，它等价于把此表合成一个有起始位的表，其中原先的表中顺序排列的实数元素要“交叉”地排在新表中。也就是要改动其顺序、位置。然后重新对此表运用康托对角线法。总之，只要是在：1、多进制下，每位多状态；2、有起始位置；3、顺序逐位、逐个一一对应，则此实数表必不完备，也就是列不出全部实数。但这绝对不是实数不可数。比如经常有教师在回答学生“把对角线上“产生”的那个实数加在原表中，实数不就又可数了”的问题时，总会也只会说“那你再在此表中运用对角线法”不就得了。学生往往也无话可说了。但真的就此打住了吗？非也。康托对角线法的假设是：“如果实数可数，它就可以排成一列，............”。在多进制等前提下，通常被认为否定了这个假设。但前已述及，在如此多的隐含前提下，实际“任何一列”，就成了“这么一列”，它绝不再是无条件、无前提的了。于是此时的“否定假设”，等于是要么否定实数可数，也就是不可数；要么否定的是它可以“这么地”排成一列。也就是实数虽然可数，但却只是不能这么地(有条件地)排成一列。也就是即使实数不能这么排成一列，也不见得就是不可数。前述老师说的没错，对角线法当然可以不断用下去；但他同时忘了，对角线法产生的新实数照样可以不断添加到原系统中去，形成新的可数集。因为康托早有结论：一个可数集加1，不断加1，甚至加一个可数集合，仍旧是可数的。由于所谓不断地重复康托对角线法，只能是可数多地进行这种“重复操作”，因此，我们可以把所有对角线法产生的新的实数的全部组成一个新的可数集合(它本身当然不能再进行对角线法了，就如任何整数加1还是整数，但所有整数集合再加1可就不是整数了)。这个集合，当然不能再用对角线法去证明其不可数(因它本身就是对角线法的直接产物)。前述“老师”只看到事物的一面，而没有看到事物的另一面。除非我们能够证明，不能“这么”排成一列的实数就是不可数的，但这是另一个证明了，对角线法由于被揭示出是需要额外的隐含假设的，因此已经不行了(对角线法只是证明了不能“这么”排出全部实数，但这不是不可数)。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。