数学分析综合（一） (6-4)

当然也可以这样等价地看这个问题：如果没有明确地提出康托对角线法的“隐含”假设B，则由于对角线法的规则，决定了原先康托所列出的、假设可数的全部实数集，其实不过只能是实数集的一个真子集，而不可能是整个实数集。这个真子集与其元素的位数一一对应(通俗说就是“数量一样多”)，换句话说，就是其想证明的东西，已经包括在其前提中了。因为无论有限还是无穷情况，一个与多进制下位数一样多的集合，显然比这个多进制下这个数量的位数所可以表示的数要少的多。于是，也可以把这种证明错误看成是逻辑上的“循环论证”。等于是自己证自己。

以下视角，也许使问题更加清晰。我们可以设计一个“反对角线法”，就是先找任意一个实数A，然后逐位求反，而每位求反后，都找一个相应位与求反后的A的那一位的数值一样的实数，依次类推。这样得到的一个实数列表，从一开始就排除了实数A。它的本质，是先把A单独挑出来，再去建立不包括A的实数子集。它与康托对角线法没有实质不同，不过前后顺序正相反而已。但我们看到，这里从一开始建立的就是实数的真子集，也就是不完备的实数集。我们不可能还有先假设实数可数，然后就单独挑出一个实数，去建立不包括这个实数的实数子集，就说实数不可数了。这里完全没有这样的逻辑。实数可数这个假设根本插不进去，也就根本无由证明它的否命题。康托对角线法的结构与上面的“反对角线法”没有什么不同，不过次序相反。“反对角线法”是直接主动建立非完备实数集(子集)，而“康托对角线法”是徒具反证法的形式，就是先假设实数可数，而且可以排成那么一列(一张表)，再通过难以察觉的隐蔽方式偷偷地改变了这张表，以找出一个不在“改动后”的表中的实数(对角线上求反得到的那个实数)，然后宣称“证明”了“改动前”的表是不完备的。而事实上，你只要去求反(改动原表)而得到原表外的实数，表立即就“变的”不完备了。这与主动直接建立一个不完备的实数表根本没有不同。不过一个显然，一个隐蔽而已。事实上，康托对角线法等价于使用了选择公理。而选择公理的本质，就说按某种规则，选择某集合的一些元素组成该集合的一个子集合。前文已经讨论了，康托对角线法的本质，就是在前n位的2n个不同的组合形式可以表示的2n个不同的实数中，仅选择n个组合表示的实数，这就是那张二维表中的所列出的实数，这当然是整个实数集的一个真子集，而且与位数是顺序一一对应的。从这个角度，也可以看出康托对角线法的本质与局限。

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