数学分析综合（一） (6-3)

其中A为命题“实数可数”，B为命题“全部实数可与位数一一对应”。(注意，这里是简化说法，详细的完备说法见前文中，比如“顺序”、“激活”、“可变状态”等等限定词这里都省略了)。这个命题当然等价于“由所有位的全部不同排列组合的状态数可与由之产生的位数顺序地一一对应”。直观上，由位数的由来、意义、作用，就不可能。当然还有证明。

在康托的经典(非完备)的对角线法的表述中，上式中的B仅仅为“全部实数可以在表中排成一列”。这在“实数可数”的前提下是显然的，由可数的定义直接得到的，所以无须证明。因此，在康托的非完备的对角线法中，(A→B)为真。所以自然可以先假设“A为真”，也就是“如果实数可数”(为真)。由此，由康托的经典的(非完备)对角线法的反证法，看似可以“求得”﹁A，即A的反命题“实数不可数”。但前文早已详述，康托对角线法实际能做到的，是依赖于“位数”、多进制下的每位、“顺序一一对应”、“每位可变状态”这些前提的。于是问题就不是康托认为的那么简单了。此时的(A→B)，加进这些隐含的、对角线法所必需的假设、前提后，就成为“如果实数可数，全部实数就可与每一位一一对应”，而这个(A→B)为真与否，也就是能否作为对角线法的前提，是需要证明的。而要证明其为真，恰恰需要由本来有待证明的(﹁B→﹁A)来证明。即(﹁B→﹁A)→(A→B)。这当然是逻辑循环，也就是循环论证。当然，如果B真，也就是“全部实数可以与每一位一一对应”为真，则A自然也真，也就是“实数可数”为真，同时(B→A)自然也为真，但这推不出(A→B)。即我们没有(B→A)→(A→B)这样的逻辑关系。进而，由前文我们已经知道，正是由对角线法(前提当然不同于康托的)，我们可以得到：(B→C)→(﹁C→﹁A)，其中B的定义与上面相同，而C为“全部实数可以排成一列”。由对角线法，我们得到否定的结果，从而推出结论﹁B，也就是“全部实数不可能与每一位在那些隐含的前提下一一对应上”。这是已经证明的事实了，于是，(A→B)不可能为真，也就是实际上我们有﹁(A→B)，当然(A→﹁B)就更不成立，于是，我们不可能再做出假设“A真”也就是“实数可数”，因为(A→B)根本不成立。于是，康托想通过对角线法的反证法而得到“A假”也就是“实数不可数”的目的是达不到的。总之，实数可以不与自然数一一对应(这当然并不是不可数)，和实数不可以(绝不，总不)和自然数一一对应(这才是“不可数”)，是两回事，我们不应混淆。

由以上的分析应该非常清楚康托对角线法的所谓反证法的逻辑脉络了。我们还可以这样看这个问题：康托先是假设了命题A(实数集可数)，想用、或以为用其对角线法证明了“非A”(实数集不可数)。但其实际能做到的仅仅是假设了“A与B”(其中B为“所列可数的实数集与其自己的元素的位数一一对应”)，由反证法，康托实际得到的并不是其想得到的、以为已经得到的“非A”，而是“非(A与B)”，按简单的数理逻辑规则，有：

非(A与B) = (非A)或(非B)，它原先想、或认为已经证明的“非A”，其实并没有被证明。因为在这个式子中，两个命题是“或”的关系，而由于对角线法的“操作本质”，命题B与“非B”都是“刚性”的，必须的，于是，“非A”(也就是命题“实数集合不可数”)并没有被证明。在上述所谓“反证法”中，A与“非A”，都没有被证明。也就是其成立与否并不影响整个式子的真值性。

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