数学分析综合（三） (6-6)

经以上分析我们可以看出，现有形式系统对概念、命题的“表达”不完备，而非对可表达的命题本身不完备(哥德尔定理原先的解释)。即：并非有真而不可证或不可判定的命题在系统中，而是不可判定命题本身在形式系统中就是无法表达的(当然其定义可以)。也可以说，所谓不可判定命题需要无穷的时间或步骤才可确立，因此其本身就是在有限步内不可判定的(不可判定本身就不可判定。或更确切地说，是不可判定本身在有限时间内不可判定。即：不可判定命题本身的确定或判定，需要无穷时间或步骤，而这根本不可能在现实中实现)，因为其严格表述也就是其定义即是如此：一个在有限步骤内无法判定或确定其是否真是不可判定的命题才是真正意义的不可判定命题。换言之，在有限时间或步骤内，不可能确立或得到一个不可判定的命题。有限时间或步骤中能现实得到的，充其量也就是一个“尚未被判定”或“尚待判定”的命题。但这不是“不可判定”。哥德尔定理是说，有一个实际是真的命题在系统内可表达但不可证(非定理)进而是不可判定的，似乎任何命题在系统内都可表达。但“本命题不可证(非定理)为真”却不可在系统内被表达，因为哥德尔为回避系统内的悖论和矛盾，声称这个“真”的结论在系统内是得不到的。但如前文分析，这也要产生问题。笔者实际得到的进展不过是：哥德尔命题“本命题不可证(非定理)”本身就是或才是不可在系统内被表达的。

事实上，证明不可判定(及其意义下的不可证)不能在有限时间、步骤中得到很容易：设可以在有限时得到，则其反命题可证必需要无限时才能达到。这与可证、可判定的定义与要求相悖(原始递归，有终止)，于是得证。

我们甚至可以直接定义命题或语句“需要无穷步或无穷时间才可表达的命题”，或“在系统中不可表达的命题”等这样的命题。这些命题当可在系统内被定义、被表述(写出来就是表述、定义了)，但不可表达，也就是真正实现。因为它们的表达都要涉及无穷步骤及无穷的时间成本。哥德尔命题(夲句不可证)不过是此类命题中的一个罢了。

总之，如果一个命题A不是定理也就是不可证可以在有限步内判定，那么﹁A必是定理(为真，当然在有限步内可判定)，这是前提。现在反过来了，认为(误认为)可以在有限步内判定A不是定理(不可证)，且事实为真。由此推得﹁A假，则假命题也必非定理，于是A不可判定。显然，我们可以看出这是本末倒置、循环论证。

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