数学分析综合（三） (6-5)

问题究竟出在哪里？这里有一个以往被严重误读的重要问题需要澄清：如果哥德尔命题进而哥德尔定理涉及的是不可判定语句(也就是命题与其反命题都不是系统定理)，那么，哥德尔命题进而哥德尔定理甚至是根本无法表述的。因为一个有效的证明(也就是定理)必须在有限步骤内完成，于是与之相应的“哥德尔数”必然有限。而不可证(非定理)如果是不可判定意义上的(即该命题的否定也是不可证(非定理)的。而不是﹁A可证为定理了，进而推出A不可证(非定理)之意)，则必然是有效证明(可有限步内)的否定，有限的否定是无限，也就是不可能在有限步内得到。即，其涉及的是无限步，换言之在实际中(也就是有限步或有限时间内)根本就得不到“不可判定”(以及在此意义上的“不可证”、“非定理”)这样的结论。直观上，一个数学命题(这里不仅限于哥德尔命题类型的“自指代”、“自指否”命题)还没有被证明，不能叫不可证、非定理、不可判定，只有在时间上永远没有证明才行。但这个“永远”，是可以在现实中得到的吗？哥德尔命题的数码表示中，那个“对所有n”如何如何的表述，实际暗含不可能在所有有限的系统表述中发现这个关于不可证的涉及无限个字符的命题。即，这里的所谓“对所有的n”，不能按对应的有限个字符翻译成哥德尔编码，而是应该列出所有的n，这当然对应于无穷大。也就是在一个由有限字段表示的元素的表(集合)中，虽然可以把“无限个元素”这样表述作为元素，但不包括必须有无限字符才可表达(也就是实际不可表达)的元素。这一点事实上对应于自然数集合的元素个数虽然是无限的(有无限多的自然数)，但并没有叫无限的、也就是本身就是无限的那个自然数存在。明确说，一个系统中的证明、定理、可判定，可以在有限步内完成，因此就会有一个具体的、有限“长度”的哥德尔编码；但其否定不可证、非定理、不可判定，必然否定这个有限步或有限“长度”，也就是不可能给它配一个具体的、有限的哥德尔数。只是在表述中写上“对所有的n”如何如何，而不是真的可以列出这个”所有的n”(实际也就是无穷大，当然在现实中是无法列出的)。也就是那个有限哥德尔编码数表示的命题“夲句不可证(非定理)”在形式系统中根本就无法被表达。理由如下：设n为哥德尔编码数，当然是指的具体的某一个。由前文所述，要真正表达“夲句不可证(非定理)”，在哥德尔编码中只能表示成“本n表示在所有n下才能表示出的(也就是需要无穷个n)均构不成证明对的那个哥德尔数”，显而易见，这是试图用有限、具体的一个哥德尔数去表达哥德尔数为无穷也就是无法实际表达的一个命题。事实上，传统上认为的哥德尔命题，也就是“夲句不可证(不可表达)”或更确切地“夲句不可判定”，在实际用哥德尔编码数表示出来后，应该是“夲句为不可证(非定理)的定义”，因为在“不可证”的表述中，我们只是使用“对所有n”、“不存在n”这样的表述，并直接用这些字符的哥德尔数表示“不可证(非定理)”等概念的意思，这就是一个定义，而不是“不可证(非定理)”本身。即：我们当然没有可能在有限步或用有限的哥德尔数去表达真正的“所有n”，那是真的无穷，而不仅是“无穷的定义”也就是“无穷”这两个字而已。一个句子，如仅仅是对某概念命题定义的表述，当然不会再构成悖论。也就是说，要想在有限步内表达出在有限步内根本无法表达也就是必然要涉及无限步才可完成表达的一个命题，是不可能的。当然，我们仅就其定义，是可以给出的。定义当然可以用有限个词(对应于有限的哥德尔编码数)来表达。

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