数学分析综合（三） (6-2)

我们说，有理数集合已经被康托相当经典地证明是可数的。因此如果我们确定了在一张表中已经列出了全部有理数(比如就按康托证明有理数可数的那张表中的遍历次序来列出有理数)，那么，就不应该也根本不可能再在这个表的对角线上产生任何一个不在这张表中的有理数而只能得到一个无理数。但如果我们仅仅是“假设”了此表中列出了全部有理数，而没有具体真正去按一定次序无遗漏地列出全部有理数，那么，一但当我们在对角线上实际得到了一个不在此有理数表中的有理数，我们立刻知道原先所列出的并不是全部有理数，也就是这个假设是错的，尽管有理数本身是可数的。既然是假设，顾名思义，其本身就可能出错为“假”。对照实数情况，其实也是一样。康托对角线法中所做的，仅仅是“假设”表中已经列出了全部实数，只是这么一说，显然没有“确定”它就是按某种排列方式已经确实列出了全部实数(否则也就不需要这个对角线法的证明了)，因此这个“假设”的真正含义就不能不有两个：1、一个是确实列出了全部实数(前提是已经(显然没有被公认地做到)或者“可能”用其它方法证明实数可数(注意：我们这里谈论的是康托对角线法实施前的情况，因此不能用对角线法得到的所谓结论去否定这一点，否则就是逻辑循环论证))，也就是这个“假设”其实就是一个“确认”，尽管仅仅是“假设下的确认”也罢；2、一个是表中没有列出全部实数，也就是这个假设是错的，但这并不能说没有列出就是实数不可数；3、实数确实不可数，也就是根本就不可能用任何方式列出全部实数，而不仅仅限于这里的这个具体的列法。既然这个“假设”包含了这三种可能性，我们就必须全部考虑。在1情况下，既然是“确认”，它也是假设的可能性之一，那么，就不应该再允许在此表对角线上进行逐位求异操作(或虽然不去真的“操作”，但对角线上所得到的那个不在此表中的实数不应该再存在)，也就是我们应该否定该表中实数小数的每位的多值性，尽管它是多进制下的。明白说，此表中的实数，每位的状态或数值一旦确定了，就不应再允许改动。多进制的多值性，在此表中仅仅应该体现在不同实数(在表中是纵向排列)的同一个位数(在表中是横向排列的)，而不是在同一个位数的位置上还可以有不同值。也就是多进制的每位的多值性在此表中不应体现在每位的位置上。明白说，在每位本身的位置上(表中横向)，只能是单值的(不允许再有什么“翻转”、“求反”、“求异”，既然它已经被唯一地选定，就是固定死的。因为你已经假定“确认”了此表包括了全部实数，怎么还可以随意更动此表的状态来有意“制造”出一个不在此表的实数呢？这不是直接否定了自己的假设吗？但如此，康托对角线法当然无法进行下去。在2情况下，如果在对角线法下“证明”了这个表中没有包括全部实数，由于上面分析的情况1的存在，也没有证明实数就不可数。它只是证明是这张实数表不完备而已。在 [ 11] 中，我们把原本二维的实数表，扩展到三维以更加有力地说明了这个问题。至于情况3，也有可能，但永远有情况1、2存在，因此不能由康托对角线法来证明。而且由于任何集合与自然数间的一一对应，都要依赖与具体的函数关系(对应方式)，而本质上存在有无穷多这样的函数关系。因此如欲证明对所有这些函数关系下实数都不能与自然数一一对应，应该是根本不可能的。

9. 总结：康托对角线法推导不成立、实数集可数，是数学基础的返璞归真

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