数学分析综合（二） (5-1)

此外，前述有理数也不能与位数一一对应，指的是按康托这么每一位对应一个有理数的方式，也就是函数关系。任何对应，都是在一定的方式下的，也就是函数关系下的，没有无往而不适的所谓抽象的对应。我们说什么和什么对应上了，并不是永远就非得对应，而是在这个函数关系下，它们对应上了。有理数的可数性，是怎么实现的？也就是证明的？用类似对角线法的方法可以证明吗？也就是把有理数表示成无穷小数，一一排列，能证明有理数可数？有人认为，可数的位数不能与实数一一对应，就是实数不可数。这是大错！可数、不可数的定义中，没有也绝对不会有这个对位数要求。如果有，定义中就要老老实实地写上，数学不是要求严格吗。“位数”的属性不仅仅是其总数可数，而且还有位数的每一位是多态的(多进制下的)，而这个多态，又恰恰是用于表示不同的实数的。其目的恰恰就是用较少的位数去表示尽可能多的实数，以压缩表示空间。如果位数与实数一一对应，表面上是一个一一对应，但由于每一位的多值性，这实际上是一个一对多的对应，用函数的话就是“隐函数”、“复合函数”的概念。打个比方：如果有人拿一元钱的票子，换另一人十元的票子，说咱们一一对应，一张换一张。任何人会换吗？谁都知道十元钱的票子可以顶十张一元钱的票子。这里直接把“十元钱”对应于对角线法中的“位数”，把“一元钱”对应于表中的实数个数，再多动动脑子想一想，看谁还会不明白？而康托对角线法等于是说，既然十元一张的票子与一元一张的票子可以张张地“一一对应”，于是所有一元票子的总价值就不可能等于所有十元票子总价值。是这样吗？我们多印一元市值的票子，完全可以使二者等值。只要不再要求张张一一对应，而是按市值对应，即每一十元票子可以对应十张一元票子即可了。实际上，之所以央行在已有一元票子的基础上还要发行印刷十元票子，是为了用较少的纸张更多地表示钱的市值，目的与功效与人们创建多进制一样。不得不用如此浅显的例子讨论数学、逻辑方面的问题，只能说是不得已，而且还很必要。

2. 戴德金分割中的矛盾分析

从另一个角度，我们也可以看到如果实数不可数，将使理论极其尴尬。我们知道，戴德金分割唯一地决定了一个实数，同时任何两个实数间都有无穷个有理数，无论这两个实数靠的有多么近。没有两个戴德金分割是完全相同的。也就是，必然会有出现在这个戴德金分割右边的有理数，却出现在另一个戴德金分割的左边。由于有理数的个数可数，就算会出现极端情况，也就是每两个戴德金分割左右边不同的有理数只涉及一个有理数，戴德金分割也只能有可数个。更何况每两个不同的戴德金分割左右不同的有理数，实际是无穷多个，也就是，戴德金分割的总数绝不会比只涉及一个有理数的情况多，如果不少的话。也就是，要么有理数也不可数，要么就是实数可数。二者必居其一。但我们早就知道，有理数是可数的，于是唯一的可能，就是实数可数。如果我们依然坚持对角线法无问题、实数不可数的结论，就会产生矛盾。这实际可看作是一个实数可数的间接证明。

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