极限的不完备性 (3-2)

以上极限的完备的ε-δ定义 ，由于其中的极限值A为“常数”，且其中的“＜” 关系要求定义中的各量可以比较大小。而无意义的0/0均不符合这些条件：它既不是“常数” ，也无大小。可是，一个比式确实有可能它的函数值为无意义的0/0（先有了0/0，才可能去评判得出其无意义的结论），于是，其极限也完全有这种可能。而前述定义不可能包括此点。我们现在证明即使完备的极限的ε-δ定义，由于是它不包括0/0的情况，因此仅就此点而言，它也还是不完备的。现证明如下：设定义中的极限值A = 0，x0 = 0，则按定义，0 ＜ |x - 0| ＜ δ，而如设函数f（x）= x，代入公式，则有|x - 0| ＜ ε，而此时f（x）/x = x/x，必为一个函数F，则代入公式，有|F| = |f（x）/x| = |x/x| ,而根据不等式的性质， |f（x）/x| ＜ ε/ δ与 |x/ f（x）|＜ δ/ε二者必居其一。而此时已经定义了f（x）= x，因此 |f（x）/x| 与 |x/ f（x）|都是 |x/x|，因此不可能 |x/x|＜ε/δ与|x/x|＜δ/ε只满足一个，要想这个不等式总成立，只有 ε=δ ，即有 |x/x|＜ 1，于是有了|1|＜ 1 ，显然这是错的，因此证明，极限的ε-δ定义对x/x类的比式的x → 0极限不成立。即，即使经笔者补充后的所谓“完备的ε-δ定义”，也不包括比式x/x的趋0极限情况。

按照笔者前述“本原函数”的思想，如果有函数f（0）= 0/0，但假设有f（x）→ 非0/0型的极限（如二次函数的2x），但其本原函数（伴随函数）g（0）= 0/0，于是按前文笔者的讨论，比如只能有f（x）→ 0/0。或者，因为f（0）= 0/0，如果不去定义x = 0点的函数值f（0），但由于其本原函数 g（0）= 0/0，则必有 f（x）→ 0/0。此段讨论的基础，是函数f（x）比如二次函数在x = 0点的函数值为无意义的0/0，是公认的，这是贝克莱悖论的实质，否则也就根本不需要再搞一个极限法微积分了。

由以上分析可知，如果将应该被允许的新函数的产生原则直接用之于极限的哪怕是笔者给出的所谓完备的ε-δ定义本身时，该定义将不适用。可见，其只能适用于部分函数，尽管可能是大部分函数。具体说，一个比式且分母趋于0的函数，并不适用，此定义没有涉及、涵盖这种函数，而微积分求导，恰恰就是这种特殊的函数。但是，我们不能就此说没有这种函数以及极限类型，只能说你事先已经把它从定义中排除了、“革出教门”了。这不是不存在，而是“无视”。因为任何一个事物，如果说它不存在时，既然已经提到了它，它已经就在某种形式上存在了。如果真的绝对地不存在，任何人如何又能说的着“它不存在” 呢？这个“它”，又是何所指的呢？一个概念，任何人只要一旦提到它，它就已经在某种意义上存在了。

以上，是就一个比式的分母趋于0的所谓极限（笔者在其它文章中称之为“非平凡极限”、不合理或不存在的极限）定义中的问题进行了讨论。但其实笔者早就指出过，即使一般意义的极限定义（平凡极限，可以存在的极限），其定义中也是包含着循环论证的。因为当前流行的几种对实数的所谓定义，都无可避免地等价于一个“确界公理”，而确界其实就是极限值（当然不是可以无限延伸的“极限过程”本身）。于是结果必然是定义实数，需要先要有极限值，而定义极限值，又需要先给出实数、承认实数。逻辑循环论证是避免不了的。当然，这是另一范畴的问题了。但笔者给出的微积分导数诠释，完全不涉及实数的定义问题和存在性问题。因为其根本就不需要极限以及无穷小问题，只涉及增量、尺度、距离概念而已。

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