极限的不完备性 (3-1)

论现有极限的ε-δ定义的不完备性

沈卫国（2024年4月22日）

极限的ε-δ定义为：

上面的定义，是关于极限A的。但在这个定义中，对所有量ε、δ、f（x）及其之间的关系都有定义或说明，但唯独对极限A没有任何事先给定的说明或定义。它是怎么来的，没有提到，就直接写在了定义的不等式中，然后才说“A这个常数为极限”。这种有意无意的忽略，是无心之失还是故意的？为何不提A是怎么得来的？它是什么？没有说明。所以，说满足上面定义中的不等式的A，为f（x）的极限，与说A是f（x）的极限，才满足上面的定义式，是一个意思，是同义反复，是互定义，循环定义。因此，ε、δ、f（x）等除A外的全部因素，只是A为极限的必要条件因素，但并不充分，因为缺少对“A何由得来”的一个明确说明，也就是A的来历不明。定义中的所谓“常数A”,可以有无穷多个不同的“常数”，在具体问题中，需要的是哪一个？比如具体说了是“常数5”，则这个“5”怎么来的？蒙的吗？当然不可能了。因此，正因为没有说明是怎么得来的，所以极限的定义并不完备。 因此，我们必须给出极限的完备定义：设有在点x0附近连续的函数g（x），其在x ≠ x0点与前面极限定义中的函数f（x）等值，即g（x）= f（x），只是在x = x0点，f（x）无定义，也就是没有f（x0）这个函数值，而g（x）在x = x0 点有函数值g（x0）,且连续，可以称之为前面的极限ε-δ定义中的函数f（x）的“本原函数”（或“伴随函数”等等）,则令此函数g（x）在x = x0点的函数值g（x0），即为前面极限的ε-δ定义中的极限值或“常数”A，即有A = g（x0），至此，原先来历不明的作为函数f（x）的x → x0 极限值的那个“常数”A，是如何得到的就完全清楚了。把这部分内容加入原先的定义，才是一个完整的、完备的定义。一言以蔽之，在x → x0 时f（x0）→ A，就是f（x0）→ g（x0）。

总之，问题的本质是，如果不能事先给出极限值A，就不可能知道它就是函数f（x）的极限值，而仅仅从永远到不了A的函数f（x），却能知道f（x）是以A为其极限，因为不断接近于A，缩小与A的距离，并不能保证以A为极限，也就是无限趋近与极限。只有先知道、确定了这个A值（由A = g（x0）），才可以知道f（x）到不了A。这个逻辑关系不能混淆。

我们还可以从另一个角度看这个问题。樊映川的高等数学教材中说，唯有“0”可以作为无穷小（符合无穷小的定义）即f（x）≡ 0时，当x → 0时，有f（x）→ 0，即x → 0时，有0 → 0。但又有x = 0时，可以f（0）≠ 0，而（0 → 0）= 0，真乃矫揉造作至极。即，一个为0的函数，在自变量x = 0时，函数值不为0，或无值，但其在0点的极限值却为0。这勉强扯的通，但总是怪怪的：明明f（x）= 0是可以在x = 0点等于0的，但却非说其不为0，然后其极限值又可以为0了（在x = 0点的），然后又可以定义一个新的函数g（x）= 0 ，称为f（x）= 0的极限函数（g（x）= 0 ），此函数g（x）在x = 0点有意义。扯不扯？没有几个人不被转晕的。而因极限函数g（x）= g（0）|x =0，就是f（x）→ 0的极限值。那么，在x = 0点，g（x）= 0 （g的函数值为0），其在x = 0点的极限值自然也为0，如此，我们何不反过来，说总会有一个函数g，在x = 0点，g（x）= 0 ，且（g（x）→ 0 ）= 0（极限值、函数值在x = 0点都有），以此定义极限值，然后再说f（x）可以趋于0而f（0）≠ 0？由此，我们就可以得到新的极限定义了，与前面本文一开始的论述完全对接了。这里的“极限函数”g（x），其实就是前面定义的“本原函数”（伴随函数）g（x）。

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