高阶范畴 topos理论 (3-1)

Denis-Charles Cisinski,Catégories Supérieures et Théorie Des Topos

讲义 (法文) 和录像可在 Bourbaki 官网上找到: /seminaires/...

范畴论这门学科深深植根于代数拓扑. 首先它是表达同调与上同调的性质的方便语言, 而且它产生和研究的对象在概念上有内在的价值. 自 Grothendieck 与 Verdier 引入 Abel 范畴的导出范畴, 以及 Quillen 引入一般的模型范畴以来, 出现了一个根本性的概念, 即 "全导出函子" (例如导出全局截面RΓ(X，A)，而不仅仅是上同调 Hⁿ(X，A)). 欲一窥其全貌, 则须使用同伦范畴; 这种范畴是在空间范畴或链复形范畴中通过形式上取一类态射的逆得到. 虽然同伦范畴不是 "具体" 范畴 (意指 Bourbaki 式的带结构的集合的范畴, 见 Freyd [Fre], Homotopy is not concrete), 但考虑同伦范畴收益颇丰: 我们可得到相应于基础范畴论中许多操作的函子. 例如取态射集合, 或取归纳极限; 二者将分别给出上同调与同调的自然概念. 要点在于, 导出函子的行为与原函子如出一辙; 一旦澄清了这种类比, 其构造将会极大地简化. 不仅如此, 导出函子常常表现得比原函子更好: 它们有更广泛的正合性, 更对称的行为, 或者开始具有意想不到的意义, 如解决模论中的一些问题.

∞-范畴的理论经过 Dwyer, Kan, Grothendieck, Verdier, Quillen, 以及 Joyal, Lurie, Rezk, Toën, Vezzosi, Simpson 等人的工作发展到今天, 它特别强调这样一件事情: 范畴论的语言以抽象同伦论, 即范畴局部化与导出函子, 作为其语义 (sémantique). ∞-范畴精确地表述了前面提到的导出函子的类比, 无可避免地将范畴论与同伦论等同起来; 而且它的意义不止于此. 范畴论的推动者 Grothendieck 以函子观点重建了代数几何. 根据 Grothendieck 的想法, 表达空间概念的核心工具是所谓的 topos, 即一个景上的层范畴 (层是一种函子). 近年来, ∞-范畴发展的动机正是用同伦论提供的语义重整 Grothendieck 代数几何. 这可能有些夸张, 但 Lurie, Toën 和 Vezzosi 确实完成了这项工作. 该理论本身产生了一系列问题, 同时在经典数学中也有许多应用, 在这篇引言中难以详述. 我们只简单介绍 Serre 的一个应用: 相交积的 tor 定义. 为了得到良好的重数概念, 我们不是要作张量积 (对应代数簇的纤维积), 而是要作导出张量积. 导出代数几何给出了导出张量积A ⨂ᴸᴄ B 的谱, 而它正是导出概形的 ∞-范畴中 spec A 与 spec B 在 spec C上的纤维积. 换言之, 导出代数几何提供了 Serre 的公式的几何意义. 在导出代数几何之外, Lurie 和 Gaitsgory [GL] 关于 Weil 猜想和关于光滑仿射代数群的 Tamagawa 数的文章也是可圈可点的应用.

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