高阶范畴 topos理论 (3-2)

一般而言, topos 理论在代数几何中有基础性的作用. 例如其导出版本解释了 Galois 理论, 其中既包括 Grothendieck SGA1 中阐明的经典观点, 又包括更先进的 Artin–Mazur–Friedlander [AM, Fri] 的投射伦型理论的观点. 细节可参考 Hoyois 的文章 [Hoy]. Topos 理论的另一个方面是环化 topos 的 Zariski 谱及其严格 Hensel 版本的泛性质. 这些对象有重要的作用, 例如它推广了 Lurie 在传统代数几何中证明的 Tannaka 重构定理, 后来又延伸到导出代数几何 [To1, FI, Wal, Lu4]. 接着, 这些 Tannaka 型定理 (导出的或不导出的) 被许多人改进, 并且在 Bhatt 的一篇文章中得到了美妙的应用. 例如 Bhatt 的一个推论如下: 设X 是拟紧拟分离的代数空间, 则对任意交换环 A 与理想 l ⊂ A 有典范同构

X(ˆA) ≃ lim X(A/lⁿ)

←

n

其中ˆA表示 A 的 l-进完备化. 这里不需要任何有限性条件.

本报告介绍 ∞-范畴理论和 Grothendieck 的 topos 理论. 我们将按照 Lurie 的书 [Lu1] 进行介绍. 这本约有 1000 页的书在 ∞-范畴理论中的地位相当于 SGA4 第一卷在范畴论中的地位. 当然, Joyal 关于 ∞-范畴的论文 [Jo3] (他称之为拟范畴) 也是一个很好的参考, 还有 Toën 和 Vezzosi 关于 ∞-topos 的工作.

引言中提及的部分参考文献

[AM] M. ARTIN, B. MAZUR – Étale homotopy, Lecture Notes in Mathematics 100, Springer, Berlin-New York, 1969.

[Fri] E. M. FRIEDLANDER – Étale homotopy of simplicial schemes, Annals of Mathematics Studies 104, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1982.

[FI] H. FUKUYAMA, I. IWANARI – Monoidal infinity category of complexes from tannakian viewpoint, arXiv:1004.3087.

[GL] D. GAITSGORY, J. LURIE – Weil’s conjecture for function fields, 链接 math./~lurie....

[Hoy] M. HOYOIS – A note on étale homotopy, 在作者主页上可获取 : math./~hoyois/.

[Jo3] A. JOYAL – The theory of quasi-categories and its applications, lectures at CRM Barcelona February 2008. 链接 : mat.uab.cat/~kock/crm/h....

[Lu1] J. LURIE – Higher topos theory, Annals of Mathematics Studies 170, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009.

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