【陶哲轩实分析】 (4-1)

目录 ▹

皮亚诺公理 ▹

万有分类公理与罗素悖论 ▹

定义数系 ▹

实用主义 ▹

序列收敛与紧致性定理 ▹

《陶哲轩实分析》看了一百多页终于看到了实数，让我感觉仿佛不是在看数学，而是在看哲学！不过相比罗素用了362页才推导出1+1=2的《数学原理》，Tao的实分析还是要好多了。全书正文420页，虽然才看了不到一半，但也有一些学习笔记和感想可以先记录一下，以供后期参考。

Tao开篇即放大招，在第一章引言中抛出许多分析学的“悖论”，比如无穷级数求和方式不同则结果不同，交换积分或求导次序导致结果不一致，洛必达法则的滥用等等，有一些我可以马上发现问题所在，还有一些就不是那么容易看出来。因此，为了给实分析打下一个严密可靠的基础，Tao打算从头开始，通过逐一建立自然数、整数、有理数、实数等数系，来论证每一条代数法则和基本定理。正如他在引言中所说：“从哲学角度来说，认识到事物为什么起作用，能够带给人们一定的满足感。”

第二章就从自然数开始，用意大利数学家朱塞佩•皮亚诺（Giuseppe Peano，1858-1932）提出的五个公理来建立自然数系，通俗一点讲就是通过增量运算的方式来定义自然数。

皮亚诺公理

公理1：0是一个自然数。

公理2：如果n是一个自然数，那么n++也是一个自然数。（注：定义增量运算）

公理3：0不紧跟在任何自然数之后。换言之，对任意一个自然数n，n++≠0均成立。（注：防止增量运算绕回0）

公理4：对于不同的自然数而言，紧跟在它们之后的数字也一定是不同的。也就是说，如果n和m都是自然数，并且n≠m，那么n++≠m++。等价说法为，如果n++=m++，那么一定有n=m。（注意：防止绕回非0数或者停滞不前，比如4++=4）

公理5（数学归纳法原理）：令P(n)表示自然数n的任意一个性质，如果P(0)为真且P(n)为真时一定有P(n++)也为真，那么对于任意自然数 n，P(n)一定为真。（注：公理5不仅涉及变量，而且涉及性质，所以在本质上与其他四个公理是不同的。严格来说，公理5是一个模板而非单独的公理，在这个模板上可以构造出无穷多个公理）

现代分析论中非常引人注目的一个成就是，只从上述五个非常基本的公理和集合论中的某些附加公理出发，就能够构造出其他所有的数系、生成函数，并进行我们通常所做的全部代数和微积分研究。

另外，皮亚诺公理并非定义自然数的唯一方法，另一种方法是通过讨论有限集合的势给出的。

自然数系N有一个非常有趣的特点：尽管每一个自然数都是有穷的，但是由自然数所构成的集合N却是无穷大的；换句话说，虽然 N 是无穷大的，但是N 是由各个有穷的元素构成的（整体大于它的任意部分）。无穷大不是自然数，但是无穷大可以是其他数系的元素，例如：基数系、序数系以及p进数系，不过它们并不遵循归纳法则，所以不在本书的讨论范围之内。

万有分类公理与罗素悖论

第三章介绍Zermelo-Fraenkel集合论公理，跟网上介绍的大同小异不再赘述。比较有趣的是Tao介绍了一个万有分类公理（公理3.8）：假设对任意的对象x，存在关于x的性质P(x)，P(x)非真即假，因此可以将P(x)为真的元素放在一起组成一个集合{x: P(x)为真}。它断定每一个性质都对应一个集合，因此也叫概括公理。

万有分类公理跟前面介绍的分类公理（公理3.5）有点类似，唯一不同就是分类公理是对某一个集合内的元素x利用性质P进行分类，而万有分类公理则对x没有限制，因此可以用于任何对象，比如一切对象所构成的集合，即所谓的“万有集”。

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