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【陶哲轩实分析】 (4-1)

目录 ▹

皮亚诺公理 ▹

万有分类公理与罗素悖论 ▹

定义数系 ▹

实用主义 ▹

序列收敛与紧致性定理 ▹

《陶哲轩实分析》看了一百多页终于看到了实数,让我感觉仿佛不是在看数学,而是在看哲学!不过相比罗素用了362页才推导出1+1=2的《数学原理》,Tao的实分析还是要好多了。全书正文420页,虽然才看了不到一半,但也有一些学习笔记和感想可以先记录一下,以供后期参考。

Tao开篇即放大招,在第一章引言中抛出许多分析学的“悖论”,比如无穷级数求和方式不同则结果不同,交换积分或求导次序导致结果不一致,洛必达法则的滥用等等,有一些我可以马上发现问题所在,还有一些就不是那么容易看出来。因此,为了给实分析打下一个严密可靠的基础,Tao打算从头开始,通过逐一建立自然数、整数、有理数、实数等数系,来论证每一条代数法则和基本定理。正如他在引言中所说:“从哲学角度来说,认识到事物为什么起作用,能够带给人们一定的满足感。”

第二章就从自然数开始,用意大利数学家朱塞佩•皮亚诺(Giuseppe Peano,1858-1932)提出的五个公理来建立自然数系,通俗一点讲就是通过增量运算的方式来定义自然数。

皮亚诺公理

公理1:0是一个自然数。

公理2:如果n是一个自然数,那么n++也是一个自然数。(注:定义增量运算)

公理3:0不紧跟在任何自然数之后。换言之,对任意一个自然数n,n++≠0均成立。(注:防止增量运算绕回0)

公理4:对于不同的自然数而言,紧跟在它们之后的数字也一定是不同的。也就是说,如果n和m都是自然数,并且n≠m,那么n++≠m++。等价说法为,如果n++=m++,那么一定有n=m。(注意:防止绕回非0数或者停滞不前,比如4++=4)

公理5(数学归纳法原理):令P(n)表示自然数n的任意一个性质,如果P(0)为真且P(n)为真时一定有P(n++)也为真,那么对于任意自然数 n,P(n)一定为真。(注:公理5不仅涉及变量,而且涉及性质,所以在本质上与其他四个公理是不同的。严格来说,公理5是一个模板而非单独的公理,在这个模板上可以构造出无穷多个公理)

现代分析论中非常引人注目的一个成就是,只从上述五个非常基本的公理和集合论中的某些附加公理出发,就能够构造出其他所有的数系、生成函数,并进行我们通常所做的全部代数和微积分研究。

另外,皮亚诺公理并非定义自然数的唯一方法,另一种方法是通过讨论有限集合的势给出的。

自然数系N有一个非常有趣的特点:尽管每一个自然数都是有穷的,但是由自然数所构成的集合N却是无穷大的;换句话说,虽然 N 是无穷大的,但是N 是由各个有穷的元素构成的(整体大于它的任意部分)。无穷大不是自然数,但是无穷大可以是其他数系的元素,例如:基数系、序数系以及p进数系,不过它们并不遵循归纳法则,所以不在本书的讨论范围之内。

万有分类公理与罗素悖论

第三章介绍Zermelo-Fraenkel集合论公理,跟网上介绍的大同小异不再赘述。比较有趣的是Tao介绍了一个万有分类公理(公理3.8):假设对任意的对象x,存在关于x的性质P(x),P(x)非真即假,因此可以将P(x)为真的元素放在一起组成一个集合{x: P(x)为真}。它断定每一个性质都对应一个集合,因此也叫概括公理。

万有分类公理跟前面介绍的分类公理(公理3.5)有点类似,唯一不同就是分类公理是对某一个集合内的元素x利用性质P进行分类,而万有分类公理则对x没有限制,因此可以用于任何对象,比如一切对象所构成的集合,即所谓的“万有集”。

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