【陶哲轩实分析】 (4-2)

万有分类公理如此强大，以至于集合论的大部分公理都可以由它推出，它可以极大简化集合论的基础。那为什么人们不用这个公理呢？因为它会导致一个矛盾——罗素悖论。该悖论是由英国哲学家和逻辑学家伯特兰 •罗素 （Bertrand Russell，1872-1970）于1901年发现的，可以表述如下。

令P(x)表示下述命题：

P(x) ⇔ “x是一个集合，并且x∉x”

也就是说，只有当x是一个不包含自身的集合时，P(x)才为真。例如，P({2,3,4})为真，因为集合{2,3,4}不是{2,3,4}所包含的三个元素2、3、4中的任何一个。

此外，如果令S表示由所有集合构成的集合（根据万有分类公理可知，S是存在的），由于S自身就是一个集合，那么它就是S中的一个元素，从而得到P(S)为假。

现在利用万有分类公理来构造这样一个集合：

Ω:= {x: P(x)为真} = {x: x是一个集合，且x∉x}

即由所有不包含自身的集合构成的集合。现在问一个问题：Ω是否包含自身？也就是说，Ω∈Ω是否成立？如果 Ω包含自身，那么根据定义可知，这意味着P(Ω)为真，即Ω是一个集合且Ω∉Ω。另一方面，如果Ω不包含自身，那么P(Ω)将会为真，从而Ω∈Ω。因此无论是哪一种情况，我们都能得到Ω∈Ω和Ω∉Ω，这是荒谬的。

由此可见，万有分类公理“太大以至于不现实”。一种解决方案是把对象按照一定的层级结构进行排列，每一层的集合都只能由更低层级的对象来构造，而不能包含跟自己层级相同或更高的对象，这样就可以防止构造出包含自身的集合。

但是对象层级结构的正式表述非常复杂，我们也可以用一个更简单的公理来避免罗素悖论。

公理3.9（正则性）如果A是一个非空集合，那么A中至少存在一个元素x满足：x要么不是集合，要么与A不相交。

这个公理（也被称作基础公理）的要点在于它断定了 A 中至少有一个元素位于对象层级结构中非常低的层级，以至于该元素不包含A中的其他任何元素。例如A={{3,4},{3,4,{3,4}}}，那么元素{3,4}∈A但不包含A中的其他任何元素（3和4都不在A中，A中的两个元素都是集合），尽管位于层次结构中更高层级的元素{3,4,{3,4}}的确包含了A中的元素 {3,4}。由该公理推出的一个重要结论就是集合不能包含自身(习题 3.2.2）。这个证明比较简单，我就直接写出来吧。

证明：如果A是一个集合，那么A∉A.

反证法：假设A∈A，则根据单元素集公理（公理3.3），有A={A}，A是A的唯一元素，A是集合而且A∩A=A，这与正则公理矛盾，所以假设不成立，因此A∉A.

定义数系

接下来的两章，Tao用自然数之差定义整数，又用整数之商定义有理数，最后用有理数（柯西）序列的极限来定义（完备的）实数，逻辑严密，层层递进，有一种百尺高楼平地起的感觉。

为了论证的需要，Tao还发明了不少记号和术语，比如形式差一，形式商//，形式极限LIM，（最终）ε-接近，（最终）ε-稳定 ，（持续）ε-附着于，等等。这些记号和术语都不是正式的，而是像脚手架一样只为帮助建立概念，完成任务之后就不再使用。

比如柯西序列，Tao将其定义为最终ε-稳定的序列；等价序列被定义为最终ε-接近的序列；而序列的极限点（或附着点）x就是对于任意ε＞0，x都持续ε-附着于该序列。“ε-附着于”比“ε-接近于”更弱，“持续ε-附着于”不一定“最终ε-接近”，正如极限点并不一定都是极限（因为序列不一定收敛），但极限一定是极限点。（P112）

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