代数几何的历史演进（一） (3-3)

独此一次，这个时期的开端非常好界定[4]，Fermat和Descartes独立地发明了“解析几何”，这也同时标记了代数几何真正的诞生。相比于希腊人使用坐标的方法，主要的创新之处在于，在一个问题中考虑的所有曲线（固定的和可变的）都用同样的坐标轴来描述，并且最重要的事实是，Viete和Descartes的代数记号让我们可以考虑任意的方程（希腊人不能超出三次或四次）。在这个框架下，代数曲线和超越曲线之间的差异立即冒了出来；Fermat已经清楚理解了维数（dimension）的概念，他清楚地陈述了：一个2维的方程定义一个曲线，3维的定义一个曲面，并提示这可能推广到更高的维度。平面曲线的次数（degree）立刻可以看出是与坐标变换无关的，并且Newton知道，中心投影（自从希腊人研究圆锥曲线开始，这个操作就已经为人熟知了）下它也不变。

那个时期主要的工作是一种探索。Fermat说明了所有2次曲线都是圆锥曲线，Newton将所有3次平面曲线用坐标变换和投影分了类；Euler分类了二次曲面以及用两个曲面的交定义的skew curves（出现于18世纪）。曲线的参数表示为Newton通向微积分奠定了基础，并且Euler已经知道如何从一个曲线的Descartes方程中找出曲线的参数表示。人们已经开始着手尝试消除平面代数曲线的奇点和拐点结构，不过这时处理的都是初等的例子，所以没有给出一般性的描述。

两个平面代数曲线相交的问题已经被Newton解决了；他和Leibniz对“消元”（elimination）过程有清楚的认识，通过该过程展现了这样的事实：两个拥有相同变元的代数方程有公共根，利用这一过程，Newton注意到两个次数分别为m和n的曲线交点的横坐标（举个例子）是通过一个次数不超过mn的方程给出的。这个结果在18世纪被不断改进，直到Bezout利用一种改良的消元法证明了，一般情况下，给出交点坐标的方程次数恰好是mn；但是，给每个交点赋予一个整数以度量其相交的“重数”，在那个时期这个问题还没有人进行过一般性的研究，在这种意义下，重数之和总是mn。Bezout还把他的消元法推广到了3维情形，证明m，n，p次代数曲面交点在一般情况下总由一个mnp次方程给出。

当我们开始考虑代数曲线的代数族（algebraic family）时，一个在某种意义上与相交问题相反的问题便出现了，即，给定足够多的点，确定一条n次曲线。这里应当回忆起，这个（线性的）问题正是行列式理论的出发点，以及，

n(n＋3)

───

2

个“一般位置”的点完全决定了一条n次曲线，而两条 n 次曲线一般有 n² 个交点，这样的事实为线性方程组的秩的概念提供了最早的一般性的例子（“Cramer悖论”）[5]。

我们最后应当强调这样的事实：正如我们下面将要看到的，在下一个时期充分发展的一些概念（雏形）可以被追溯到17世纪和18世纪。

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