代数几何的历史演进（一） (3-2)

（F）代数几何中的分析和拓扑：这个主题是数学分支之间互相启发的又一例证。出于计算椭圆积分和它的推广Abel积分这个积分问题，Riemann发展了Riemann曲面的概念（第一个非平凡的“复流形”的例子），发明了代数拓扑，之后他和他的后继者展示了这些想法是如何彻底地刷新了代数曲线和曲面论。一百年后，历史又再次上演：A.Weil把纤维丛（fiber bundle）的概念、Serre把层（sheaf）以及它的上同调的想法转入了代数几何。Serre和H.Cartan展示了用层的想法处理复流形十分有效。

（G）交换代数和代数几何。正如我们所见，这已经成为现代代数几何最重要的主题。自从Riemann引入了曲线上的有理函数域，Kronecker、Dedekind和Weber引入了理想（ideal）和除子（divisor）的概念，交换代数便成了代数几何学家的工作间，他们可以从这里寻找他们的主要工具：局部环，赋值，正规化，域论，以及在所有这些工具之中最晚近和最有效的，同调代数。

第一个时期：前史（prehistory）（CA. 400 B.C. - 1630 A.D.）

倘若希腊人发明几何时真的把它当作一门演绎科学，他们从来没有（不像人们所相信的那样）做过任何把它与代数分离的尝试。正相反，他们的主流之一便是用几何方法去解决代数问题，最好的例证便是圆锥曲线（the conics）的发明：继直线和圆之后他们彻底地研究的第一种曲线。希腊人知道构造方程x²＝αb 的根的简单方法， α，b 作为弓形的长度给出，未知数 x 被认为是正方形的边长；他们常常把这个方程写成“比例”的形式： α/x＝x/b 。构造一个给定正方体的边长的问题称为Delic problem， x³＝α²b ；Hippocrates of Chio（大约公元前420年）把这个问题转化为一个关于两个未知数 x，y 的“两个比例”： α/x＝x/y＝y/b 。Menechmus（大约公元前350年）有了考虑两个方程 x²＝αy，xy＝αb 给出的曲线轨迹的想法，这两条曲线的交点坐标 x，y 就是这个问题的一个解。这似乎包含了代数几何的知识；事实上希腊人大量地使用坐标系（特别是在后来Apollonius的圆锥曲线论中），但是他们没有达到Descartes和Fermat的主要观点（见下文）。

事实上，早在公元前5世纪，就已经有人用曲线的交点来解方程了，这导致了很多曲线的发明，有代数的也有超越的；当然，那个时期还不能感受到这两种曲线之间的差异，并且因为那时没有合理的基础，没人尝试过给曲线分类。除了平面和球面，希腊人还研究了一些旋转曲面，例如圆锥、圆柱，一些二次曲面，甚至研究了环面；在“解析地”发现了圆锥曲线之后，Menechmus也是第一个认识到这些曲线可以用一个回转锥面截出来；Archytas（公元前5世纪末）的一个大胆构造，利用一个圆锥、一个圆柱和一个环面相交，给出了Delic problem的一个解。Eudoxus在他的天文学著作中用一个圆柱和一个球面相交来描述由两个旋转叠加而成的运动轨迹，这可以被认为是第一个曲线的参数化表示的例子。

第二个时期：探索（exploration）（1630-1795）

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