代数几何的历史演进（二） (4-1)

第三个时期：“射影几何的黄金时期”（the golden age of projective geometry）（1795-1850）

在这一时期的开端，我们又要与过去作一个相当大的决裂。短短几年时间，得益于Monge和他的学派以及，特别地，Poncelet，一个新的时代开始了，与此同时，无穷远点（point at infinity）和虚点（imaginary point）的概念被引入：“几何”这个词，从这时开始将近100年的时间内，将完全用于指代复射影平面ℝ₂(ℂ) 或复射影空间ℝ₃(ℂ)中的几何。事实上，（实）射影几何的基础想法可以追溯到Desargues（17世纪），他试图给画家和建筑师所使用的“透视”（perspective）[6]方法找到坚实的数学基础，为此引入了“无穷远点”的概念，并运用中心投影（central projection）的方法从欧氏几何的经典结论中得到新的定理；尽管启发了Pascal对圆锥曲线的研究，但这些想法还是很快湮没了，因为作者用的语言太古怪，而且书本传播得太少（某些时间一度被认为失传了）。18世纪的其他数学家，特别是Euler和Stirling，暗示了虚点的存在，以使得他们的定理在一些情况不致失效。这正是新学派出色地完成了的工作：正如任意两个圆锥曲线可以做到的那样，两个圆也相交于4个点，只是两个点是无穷远处的虚点；这里不再有各种各样的圆锥曲线和二次曲线，任何非退化的圆锥曲线（相应地，二次曲线）现在都是射影等

圆锥曲线论、二次曲面论、圆锥曲线和二次曲面的线性族（linear family）理论是这些新观点最初的主要受益者；但3次和4次的曲面也被拿来这样研究，发现了很多美丽的新定理，例如平面三次曲线的9个拐点（inflexion point）[7]、三次曲面上的27条直线[8]、平面四次曲线的28条双切线（bitangent）[9]的配置（configuration）；Salmon定理，证明了从三次曲线上一点所引的4条切线的交比不变，作为第一个Riemann意义下代数曲线的“模”的具体例子，将在之后发挥更重要的作用。

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