代数几何的历史演进（一） (3-1)

目录

主题和时期(Themes and periods) ▹

第一个时期：前史（prehistory）(CA.400 B.C.-1630... ▹

第二个时期：探索（exploration）（1630-1795） ▹

第三个时期：“射影几何的黄金时期”(the golden age o... ▹

第四个时期：“Rimeann和双有理几何”（1850-1866） ▹

本文译自数学家J.Dieudonne所写的The

Historical Development of Algebraic

Geometry，仅供学习参考。因为中英文语言的语序差别，部分语句会进行适当的调整，采用意译，不拘泥于严格的字字对应，而仅传达旨要。

主题和时期（Themes and periods）

现代代数几何在很长一段时间都被认为是数学中一个极其复杂的部分，这是理所应当的，因为它动用了数学几乎所有的其他部分来建立自己的概念和方法，并且在一些看起来与它距离十分遥远的理论中起着愈发不可或缺的作用。它与数论一道享有下面的特质：在所有的科学分支之中，它是历史最长、最为错综复杂的之一；它吸引了每一代最优秀的数学家的精力；而且，它依然是最为活跃的研究领域之一。如果要选出完美的数学理论，它们俩也许是最好的候选者了。按照Hilbert的想法：如果我们赞同他的观点，认为数学的命脉在于问题，那无疑我们可以说代数几何和数论中未解的问题总比解决了的要多，而且，通向它们解答的每一项进展都总会给它们带来一连串令人兴奋的新方法。

由于人类的心智不能把复杂的概念当做一个整体去认识，我想，把代数几何的历史当作某种二维的图像去描述，其中，变化多端的思潮归属于若干不同的主题（theme），随着时间的推移将它们多彩的线条交织起来，可能会有帮助。但是，我们一开始就应该强调，这样一种演示（presentation）不可避免地要扭曲事实[1]：这些主题之间始终相互影响，并且，任何一种分期的方法都注定要失败，因为事实上这些时期几乎总是重叠的。

考虑到这些，我们可以先把代数几何的主要思想按下面的方法分组：

（A）和（B）：分类（classification）和变换（transformation）是一对几乎没有办法分离的概念，因为代数簇分类的中心思想正是把我们能够从某种“变换”互相推出的那些代数簇放到一起。不变量（invariant）的概念，代数不变量和几何不变量（例如维数，次数，亏格，诸如此类），以及明确并扩展了含糊的“变换”想法的对应（correspondence）和态射（morphism）的概念，都从属于这些主题。

（C）无限接近点（infinitely near points）：一个棘手的问题，困扰了好几代数学家：奇点（singularity）的定义和分类，相交“重数（multiplicity）”的正确定义，后来是线性系统的“基点（base point）[2]”的概念，以及最近引入的有幂零元的环，都属于这个主题。

（D）拓展标量（extending the scalars）：在寻找奇点的道路上前进的一大步：复点的引入，以及后来广点（generic point）[3]的引入，成为了基变换（change of basis）的中心思想的先兆，这被我们现在认为可能是代数几何最具特征性的特点。

（E）拓展空间（extending the space）：行之有效的另一套方法，可以从特例的令人困惑的混乱中卓有成效地提取能让人理解的结果：射影几何和n维几何为现在“抽象”代数簇和概型（scheme）的现代概念铺平了道路。

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