完全四边形性质（二） (3-1)

上一篇文章从欧氏几何角度谈及完全四边形的垂心线，西姆松线等性质，本文主要从射影几何角度来说明。

在进行这一步之前，我们先介绍几个引理吧

下面的引理显然是在射影仿射平面上讨论的

1.任给定一个不以无穷远直线为边的完全四线形，则确定了唯一一个与其四边相切的抛物线（这个结论虽然由“五个元素确定一个二次曲线”可立即得到，但是却对后面的讨论至关重要)

2.若两个三点形内接于二次曲线，则它们同时外切于另一条二次曲线。

3.设A,B,C,D四点共圆，则存在唯一一条以D为焦点的且与三点形ABC相切的抛物线。

4.过焦点作抛物线的任一切线的垂线，垂足的轨迹是一条直线。

5.一定点关于二阶曲线束的极线共点。

6.若二级曲线退化成两线束，则此时二级曲线的中心为两线束中心连线的中点。

7.如图，三点形ABC与三点形A₁B₁C₁内接于二次曲线Γ，且关于点O透视，Γ上任意一点P分别与三点形A₁B₁C₁顶点相连，分别交此点在透视中的对应点的对应边于E,F,G，则有:E,F,G,O四点共线。

1.任给定一个不以无穷远直线为边的完全四线形，则确定了唯一一个与其四边相切的抛物线

证：

由于五条无三线共点的直线线确定一个二次曲线，于是任给定一个不以无穷远直线为边完全四线形，相当于给定了五条直线且其中一条为无穷远直线，因此确定了一个与无穷远直线相切的二次曲线，这就是抛物线。

2.若两个三点形内接于二次曲线，则它们同时外切于另一条二次曲线。

证：

如图，三点形CDE,FHG内接于二次曲线Γ， 由二次点列及透视对应性质，有(FJ,KG)＝C（FD,EG）＝H（FD,EG）＝(ND,EM)，这说明点列(F,J,K,G)与点列(N,D,E,M)射影对应，于是由二级曲线的定义可知，此射影对应对应点连线FN,JD,KE,GM以及点列的底JK,NM属于同一个二级曲线，或者说外切于同一条二阶曲线。证毕

3.设A,B,C,D四点共圆，则存在唯一一条以D为焦点的且与三点形ABC相切的抛物线。

证: 由于圆可以认为是过圆环点I,J的二次曲线，因此有I,J,A,B,C,D六点共二次曲线，而由引理2我们知道三点形IJD和ABC外切于同一条二次曲线，并且这条二次曲线是唯一的，然而，圆环点IJ的连线是无穷远直线，这说明这条二次曲线与无穷远直线相切，于是这是抛物线，然而D为有穷点，且为这条抛物线的迷向切线的交点，于是D是抛物线的焦点。所以存在唯一一条以D为焦点的且与三点形ABC相切的抛物线。证毕。

4.过焦点作抛物线的任一切线的垂线，垂足的轨迹是一条直线。

先说明，这条直线是抛物线顶点处的切线

证:这里先贴一个引理:二次曲线的外切三线形的顶点的共轭点与另外两个顶点的两个连线共轭

如图，过抛物线Γ（黄色曲线)上任意一点作切线交顶点处的切线于P，作F关于C处切线的平行线l，设l上的无穷远点为L∞，顶点处的切线上无穷远点为M∞，由于F在抛物线对称轴上，所以M∞的极点过F，也即F是M∞的共轭点，而三点形M∞L∞P与Γ相切，所以FP与FL∞共轭，故由焦点的射影定义知PF⊥FL∞，于是PF⊥CP。这说明垂足的轨迹是顶点处的切线。

引理也证明一下吧：

如图，三角形JKI外切于二次曲线Γ，L为J的共轭点（即L在HG上），则LK,LI共轭。

证

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