代数几何的历史演进（二） (4-4)

∫⁽ˣ¹，ʸ¹⁾₍α，b₎ R(x，y)dx＋· · ·＋∫⁽ˣᵐ，ʸᵐ⁾₍α，b₎ R(x，y)dx

以及任给的曲线 F＝0 上的点 (xⱼ，yⱼ) ，可以被表示为固定（fixed）数 δ 个同样的积分的值之和，上界是关于 (xⱼ，yⱼ) 的代数函数；但是，与椭圆积分的Fagnano-Euler公式形成对比，他证明了数 δ 可能会＞1 ，例如当 F(x，y)＝y² – P(x) ， P 的次数 ≥ 5 。

但是Abel仅仅在分析的框架内工作，看起来对射影几何不是很熟。并且，他显然对复平面上的积分没有什么清晰的概念（1826年，Cauchy几乎还没开始他在那个课题上的工作），并且除了一份简短且没得出结论的笔记，他对于他的积分的周期没有一般性的论述。所以，尽管Abel的定理为Jacobi在超椭圆积分的反演问题中的突破铺平了道路，他自己却差一点就能总结出第一类积分的概念，以及曲线的亏格的定义（他没能考虑无穷远点，导致他考虑的 δ 积分不必是第一类的）。

1851年，Riemann开始研究这个课题，在这之间的若干年，Cauchy和他的复变函数理论学派发展巨大。确实，Riemann的出发点和代数函数没什么关系，而是为了更好地处理最一般类型的（未必是代数的）所谓的“多样的”函数，他把Cauchy的理论延伸到他引入的“曲面”上。这已经远远地超出了他同时代的概念，并且在Riemann之后的30年，他的理论的阐述者仍想要用冗长的解释把它解释清楚[14]。但Riemann使用他的概念以研究Abel积分的途径仍然非常有创新性。

参考

1. 原文为inflict distortions on reality。

2. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

3. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

4. 按原文的翻译应该是“良定义的开端”，这听起来很别扭。

5. 我第一次去我导师的办公室时，他便热情地给我介绍这个悖论。这是我们交流的第一个问题，我现在仍记得。

6. 按照常用的译法，perspective一般解为“透视”，projective则是“投影”或“射影”。

7. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

8. 指的应该是Cayley-Salmon定理：代数闭域上的光滑三次曲面包含27条直线。

9. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

10. 有些晦涩拗口。

11. 指的是哪个点呢？

12. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

13. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

14. 原文为it was the object of long and tedious explanations by the expositors of his theory，有些拗口。

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