代数几何的历史演进（二） (4-3)

代数曲线（ℙ₂(ℂ) 中）和曲面（ ℙ₃(ℂ) 中）的一般理论中，在Riemann之前研究的主要问题带有一种枚举的（enumerative）特征：仅给一个例子，与5个处于一般位置的圆锥曲线相切的圆锥曲线有多少条？（正确答案是3264。）Chasles，和后来的Schubert和Zeuthen，基于后来才被验明了的“相交重数”的直觉概念，提出了一种半经验的公式来解决这些问题。对偶（duality）的概念，作为射影几何中的主要概念之一，引入了代数平面曲线新的“相切”（tangential）不变量：类（class），拐点的数量，双切线的数量，在著名的“Plucker公式”达到顶峰：

m'＝m(m – 1) – 2d – 3s

m＝m'(m' – 1) – 2d' – 3s'

s' – s＝3(m' – m)

其中，m 是曲线的次数， m' 是类， d 是二重点（double point）[12]个数， d' 是双切线条数， s 是尖点（cusp）[13]个数， s' 是拐点个数；no "higher singularities", either punctual or tangential, are supposed to occur.

第四个时期：“Rimeann和双有理几何”（1850-1866）

Riemann在代数几何历史中的重要性怎么高估都不为过，但他最重要的两个贡献，通过（via）Abel积分的“超越”方法以及曲线上有理函数域的引入，是通过从前一个时期继承来的方法建立的。

Abel积分起源于研究具有

R(t)dt

∫ ───

√P(t)

形式的积分，其中 P(t) 是一个3或4次的多项式， R(t) 是一个有理函数；这些积分之一表达了椭圆弧长（因此得名“椭圆积分”）。18世纪上半叶，Fagnano和Euler，【待续】，发现实际上和式

dt dt

∫ˣα ───＋∫ʸα ───

√P(t) √P(t)

可以写成

dt

∫ˣα ───＋V(x，y)

√P(t)

其中z 是关于 x 和 y 的一个代数函数， V 是一个关于 x 和 y 的有理或对数函数，并且Euler还对更一般的积分找到了类似的结果。

在他处理椭圆曲线的著名工作伊始，Abel说明了Fagnano-Euler关系实际上是一个非常一般的定理的特殊情形，这是一步巨大的飞跃：他考虑了关于x 的任意一个“代数函数” y ，定义为一个多项式方程 F(x，y)＝0 的解；一个“Abel积分” ∫ R(x，y)dx 是这样一个积分，其中 R 是关于 x 和 y 的一个有理函数，其中 y 用前文的代数函数替换（例如椭圆积分相应于 F(x，y)＝y – P(x)）。那么，如果 G(x，y，α₁，· · ·，αᵣ)＝0 是第二个关于 x 和 y 的多项式，其系数是关于一些参数 α₁，· · ·，αᵣ 的有理函数，并且如果 (x₁，y₁)，· · ·，(xₘ，yₘ) 是两条曲线 F＝0，G＝0 的相交点，和式

V＝∫⁽ˣ¹，ʸ¹⁾₍α，b₎ R(x，y)dx＋· · ·＋∫⁽ˣᵐ，ʸᵐ⁾₍α，b₎ R(x，y)dx

是一个关于系数 αⱼ(1 ≤ j ≤ r) 的有理或对数函数；足够令人吃惊的是，这不过是关于多项式的根的对称函数理论中一个小小的练习题。但Abel没有止步于此，他仔细研究了 V 是常数的情形；这引导他意识到在那种情况下，任何和式

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