代数几何的历史演进（二） (4-2)

尽管在Mobius、Plucker和Cayley的助力下，射影几何利用齐次坐标（homogeneous coordinate）取得了坚实的代数基础，但这个射影学派总体倾向于是尽可能减少这样的代数计算，相替代地，去依靠一些一般的、不需要费事用代数方法验证的启发性“原则”（从Poncelet开始）。他们在这个方向取得的显著成功大体出于他们对几何变换思想的娴熟运用。这是变换思想第一次站在几何学的前沿，也为Klein连接几何和群论的著名“纲领”（Program）奠定了基础。他们考虑的变换大多是线性的：例如，圆锥曲线论中，他们最喜欢的手段（device）之一，便是把一条圆锥曲线看成是通过两个定点的两条动直线的轨迹，其中一条可以通过一个固定的线性变换由另一条得到（这种想法在某些特殊的情况可以追溯到Maclaurin）。相似地，在研究通过4个顶点的圆锥曲线的线性系统时，他们用一条固定的直线 D研究这些曲线的交，通过考虑这样的（线性）变换，它使 D 上一点 M 与系统中含有 M 的圆锥曲线与 D 的交集中的第二点相关联[10]。通过这种方式得到的结果大大增强了他们的信心，通过考虑，按他们这些人的说法， (α，β)– 对应，他们开创了后来将成为对应（correspondence）理论的学说，亦即， M，M' 两点之间这样的关系，对每个点 M 有 α 个点 M' 与 M 相关，对每个点 M' 有 β 个点 M 与 M' 相关：当M，M' 两点在同一条射影直线上变动时，Chasles的“对应原理”指出一个可以简单地用代数方法验证的结论：与诸变换之一相一致（coinciding with one of their transforms）的 M 点的数量（计重数）是 α＋β ，除非射影直线上的所有点都具有该性质。该定理一个漂亮的应用是关于圆锥曲线 C 内接多边形和 C' 外界多边形的Poncelet“闭合定理”：对给定的整数 n ，取 C 上一点 M₀ ，指定 C 上的点列 M₀，M₁，. . .满足 M₀＝M， MᵢMᵢ₊₁ 与 C' 相切，这便给出了一个 C 上的 (2，2)– 对应。容易发现， n 为偶数时，当 Mₙ/₂ 是 C 和 C' 的公共点时， M＝Mₙ ，而当n 为奇数时，若 M₍ₙ₋₁₎/₂＝M₍ₙ₊₁₎/₂ ，则M＝Mₙ，并且在该点[11]处与 C 相切的直线也与 C' 相切。因此 C 上至少有4个点 M 使得 M＝Mₙ ，据对应原理，如果还有一个点满足该性质，则 M＝Mₙ 对 C 上所有的点都成立（当然是使用射影直线对圆锥曲线进行参数化）。

射影学派后来的代表人物（比较可圈可点的有法国的Chasles，德国的Steiner和von Staudt），有些沉醉于他们方法的优雅，以至于到了坚称几何应当彻底与代数决裂、甚至（von Staudt的观点）要与实数的概念决裂的地步。可以想见，这种努力不会走得很远，并且可能阻碍了人们领悟线性代数在经典几何（classical geometry）中的重要性；但是，他们可能为后来在不同于域ℝ 和 ℂ 上的“抽象”代数几何铺平了道路。

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