四曲线模型 (3-1)

本文主要讨论一个射影几何定理及其应用。

四曲线模型——Pascal定理的推广

如下图，简单六边形SZWVUT外切于一条二次曲线，且其边分别交成三点形JLH和三点形GIK，JI,GH,LK交成三点形PNR，JG,IL,KH交成三点形QMO。

求证:

以下四组三点形透视且四个透视中心共线 :PRN和MOQ；VUW和SZT；PRN和SWU；MOQ和VTZ（对应点已写在相应的位置，如ABC和PQR，则A↔P，B↔Q，C↔R)，四个透视中心共线如图中紫色直线。

三条二次曲线（退化的和非退化的)，两两交出四点，共三个四点组，若每个四点组中各有一组对顶点（也就是一共六个点)位于另外一条二次曲线上，则三个四点组中每一个剩下的两点连线共三条线，这三条线共点。

如图，三条二次曲线Γ₁Γ₃Γ₄，Γ₁Γ₃交于GITS，Γ₃Γ₄交于HKOP，Γ₁Γ₄交于QRFJ，若KH,FJ,GI六点共二次曲线Γ₂，则有PO,QR，TS共点。

观察上面的构图，可以发现，交于含两个公共点的三条二次曲线共有三组。我们在下面的证明过程中也会用到Pascal推广，此外在下面的Pascal构图中将二次曲线FJ×GK，GI×HJ和FK,IH分别视作Γ₁Γ₃Γ₄，将得到OR,QP,LN共点，和Pascal定理结论一致，因此也可以将这个定理看做Pascal定理的一个推广，有兴趣的读者也可以发掘一下这两个推广间的联系。

下证：

先给出 综合法：

对Γ₁Γ₂Γ₃（共点于G,I)，由Pascal推广，知FJ,HK,TS共点（设为M)，设QR×TS＝U₁（未画出)，OP×TS＝U₂（未画出），只要证U₁＝U₂。

对曲线系FJQR,由笛沙格对合定理,XY,TS,U₁M为一对合的对应点偶，对曲线系HKOP，则XY,TS,U₂M为另一对合的对应点偶，而这两个对合有公共的对应点偶XY,TS，故两对合重合，而U₁M，U₂M也是对应点，也就是说M对应到U₁,U₂，而对合是双射，因此U₁，U₂重合，证毕。

下面给出代数法。

沿用Pascal定理推广1中的证明思路:

设Γ₁＝λ₁｜QRX｜·｜FJX｜+μ₁Γ₄，Γ₃＝λ₂｜OPX｜·｜HKX｜+μ₂Γ₄，则令

μ₂Γ₁-μ₁Γ₃＝μ₂λ₁｜QRX｜·｜FJX｜-μ₁λ₂｜OPX｜·｜HKX｜＝0（＊）

观察（＊）式，左边表示一条过GITS的二次曲线，右边表示过HK×QR,HK×FJ,OP×QR,OP×FJ四点的二次曲线，考察Γ₁Γ₂Γ₄（共点于F,J），由pascal推广知GI,HK,QR共点，故QR×HK在GI上，同理考察Γ₂Γ₃Γ₄（共点于H,K）有FJ,OP,GI共点，因此OP×FJ在GI上，然而此二次曲线又经过G,I，这说明（＊）式表示的二次曲线经过四个共线点，因此退化，设为Γ₅。

故Γ₅表示直线GI,TS，同时也表示点HK×FJ和点OP×QR的连线和直线GI，故点HK×FJ和点OP×QR的连线与TS重合，故OP×QR在TS上，即OP,QR,TS三线共点(同时也得到了综合法图中的结论，即FJ×HK也在TS上)。 当二次曲线退化时，结论仍成立。

应用（举例）

如下图，简单六边形SZWVUT外切于一条二次曲线，且其边分别交成三点形JLH和三点形GIK，JI,GH,LK交成三点形PNR，JG,IL,KH交成三点形QMO。

求证:

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