数学三角形定理与中心集群（三） (2-1)

由上图我们设BC,AD交于无穷远点P∞，从而P∞的极线为FH，过点O，于是P∞和O共轭，而三点形DCP∞外切于椭圆，于是OD,OC共轭，即AC,BD共轭。证毕。

引理也证明一下吧:

如图，三角形JKI外切于二次曲线Γ，L为J的共轭点（即L在HG上），则LK,LI共轭。

证：

设ML与Γ交于另一点N，NH,GM交于P，NG,HM交于O。则PLO是自极三点形，于是PJO共线，而O,L,K的极线分别为LP,OP,MG，它们共点于P，于是O,L,K共线，同理P，L，I共线，而LK的极点是P，P在LI上，于是LK,LI共轭。证毕。

几何角度 可以这样理解:

如图 ，抛物线是和无穷远直线l∞（红色直线）相切的二次曲线， 设切点为F∞。

而题主图中的坐标系比较特殊，它使得抛物线的对称轴垂直于x轴，事实上本质是使得无穷远处的切点为y轴上的无穷远点。那么我们要证明的是“P的横坐标确定，GH的斜率也随即确定”。而注意到，斜率k确定了实际上是确定了这条弦所在的直线上的无穷远点（1,k,0）（齐次坐标表示)。，于是我们要证明的就转化为“P的横坐标确定，GH上的无穷远点也随即确定”。

为了解释这个问题我们来先看看中点的等价定义:

线段AB的中点为 AB所在直线上的无穷远点M∞，与A,B构成的点列的第四调和点，即存在中点P，使得（AB,PM∞）＝-1。

结合极线的调和性，就可以这样定义二次曲线的弦的中点:弦所在直线上的无穷远点的极线与弦的交点。

好了，那么回到原来的问题，由抛物线的性质，弦GH所在直线的无穷远点I在F∞的极线上，这说明无穷远点I的极线经过F∞，即I的极线平行于y轴，垂直于x轴，这意味着I的极线上的点的横坐标是唯一的，事实上这一结果才是上文提到的“使得无穷远处的切点为y轴上的无穷远点”的作用。

而由中点的定义我们知道这条线还过中点P，而这时候如果确定了P的横坐标，意味着这条极线也就确定了，那么极线对应的极点P自然确定，即确定了GH所在直线上的无穷远点，亦即确定了GH所在直线的斜率。证毕。

对于焦点在x轴上的抛物线，结论变为“中点的纵坐标确定，则弦所在直线斜率随即确定”（这里默认斜率存在的情况），可以如法炮制。

向量AC·向量BD＝（向量BC-向量BA)·向量BD

＝向量BC·向量BD-向量BA·向量BD

＝（BD² BC²-DC²)/2-（BD² BA²-AD²）/2

＝[（BC² AD²）-（DC² BA²)]/2。证毕

利用这个定理和内积的定义就可以求对角线夹角余弦值了即

cosθ＝[（BC² AD²）-（DC² BA²)]/（2AC·BD)，此外，平面内，不管是凸四边形还是凹四边形都成立，空间里即对于三棱锥这个定理也成立，因为放在空间中证明过程是一样的，并且如果C在BD上也是成立的。

1)证明：

如下图，由内切圆性质，易知A,P,N共线且AN是∠DAB的平分线，其他四条蓝色直线同理。为方便，我们约定四边形A,B,C,D的四个内角分别为∠A,∠B，∠C，∠D

于是∠JPN＝∠APD＝180°-（∠A ∠D)/2

∠JLN＝180°-（∠B ∠C）/2

故∠JPN ∠JLN

＝360°-（∠A ∠B ∠C ∠D）/2＝180°

于是J,P,N,L四点共圆。

2)

由1)得到∠JPN＝∠APD＝180°-（∠A ∠D)/2

∠JLN＝180°-（∠B ∠C）/2

于是由四边形JPNL为矩形可以得到

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