四曲线模型 (3-2)

以下四组三点形透视且四个透视中心共线 :PRN和MOQ；VUW和SZT；PRN和SWU；MOQ和VTZ（对应点已写在相应的位置，如ABC和PQR，则A↔P，B↔Q，C↔R)，四个透视中心共线如图中紫色直线。

先证透视。

①VUW和SZT， 由布利安桑定理即得。

②PRN和MOQ:

由于IGK和HJL同时外切于Γ，因而它们同时内接于Γ₁，即IGKHJL共二次曲线，故由Pascal定理QO×NR和PR×MO和PN×MQ三点共线，因而PRN和MOQ透视。

③PRN和SWU

MOQ和VTZ（这两对透视关于图形对称，只要证一对，另一对同理。）

如下图，由②已说明IGKHJL共二次曲线Γ₁，考察简单六点形JLKIGH知GH,IK,UN三线共点，设为C₁，同理SPB₁共线WRA₁共线，因此欲证PRN和SWU透视，只要证B₁A₁C₁与SWU透视。

考察三条退化的二次曲线Γ₁: JH×GI，Γ₂:IK×JL，Γ₃:GK×LH，Γ₁Γ₂Γ₃两两各有一对交点JI,LK,HG在二次曲线Γ₁上，由四曲线定理，Γ₁Γ₂Γ₃两两的另外三对交点UC₁,SB₁,WA₁连线共点，故B₁A₁C₁与SWU透视，即证。

如下图，一圆与△ABC的三边BC,CA,AB的交点依次为D₁，D₂，E₁，E₂，F₁，F₂.线段D₁E₁与D₂F₂交于点L，E₁F₁与D₂E₂交于点M,F₁D₁与F₂E₂交于点N.求证:AL,BM,CN三线共点.

事实上，用射影变换，将刚才证明中的Γ₁变为圆即得。

四点共线:

如今已经说明了四对三点形透视，接下来再说明一下四个透视中心共线

设r₃r₄r₅分别为OMQ和TVZ，UVW和ZST，PRN和SWU的透视中心（局部放大一下可以看得更清晰）

则我们先证r₃r₄r₅共线

考察三条退化的二次曲线TO×RW ，UN×ZQ，JL×GK，它们交于G₁I₁，F₁H₁，E₁D₁，r₃r₅，UZ,WT，如下图，只要证r₃r₅，UZ,WT共点，则由四曲线定理，只要证G₁I₁，F₁H₁，E₁D₁，六点共二次曲线。下证:（最初的二次曲线已隐去)

G₁I₁，F₁H₁，E₁D₁，共二次曲线↔

E₁（G₁F₁，I₁H₁）＝D₁（G₁F₁，I₁H₁）↔

（ZW,I₁H₁）＝（G₁F₁，UT）↔

D₁（ZW,I₁H₁）＝E₁（G₁F₁，UT)即D₁（ZW，UT）＝E₁（ZW,UT）↔D₁E₁ZWUT共二次曲线，下证

如下图，设JH×IK＝C₁，GI×HL＝A₁，考察简单六点形GJHLIK和简单六点形GIKLJH由Pascal定理分别有ZQC₁共线和C₁UN共线，同理，A₁RW共线，A₁TO共线

则D₁E₁ZWUT共二次曲线↔

三点形D₁UT和E₁WZ内接于一条二次曲线↔

D₁UT和E₁WZ外切于一条二次曲线

考察透视形TSZ和WVU，有UV,TZ,A₁C₁共点，然而再看D₁UT和E₁WZ构成的简单六线形D₁U,UT,TD₁，WE₁,WZ,ZE₁，可以看到UV,TZ,A₁C₁恰好是它的三条对顶线，因此根据布利安桑定理，知道这个简单六线形外切于一条二次曲线即D₁UT和E₁WZ外切于一条二次曲线，证毕。

设OR×QN＝r₆，现在来证r₃r₄r₆共线即可说明四点都共线，只要证明OR，QN,r₃r₅共点即可

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