数学三角形定理与中心集群（一） (6-4)

由非齐次参数的几何意义可知，两线束射影对应的参数方程为3λ₁λ₂ 2＝0，那么原参数方程中的参数a＝3，b＝c＝0 d＝2，在这个射影对应中，两个线束中的基线分别取A≡y＝0，B≡x＝0，和A'＝y-2＝0，B'＝x-2＝0 ，于是二阶曲线方程为S≡3AA' 2BB'＝0，即2（x-1）²/5 3(y-1)²/5＝1

两条相交直线φ（x,y）＝0 和ξ（x,y）＝0，设Φ（x,y)＝φ（x,y) λξ（x,y）那么设两直线交点为P（x₁,y₁），那么φ（x₁,y₁）＝0 ξ（x₁,y₁）＝0 于是交点坐标是方程Φ（x,y）＝0的一个解，也就是说点P在这个方程表示的图形上，又因为这个方程显然是一个二元一次方程，所以这是一条直线，于是Φ（x,y）＝0表示一条过P的直线，也就是我们所说的直线系方程。

需要注意的是这个方程无法表示直线ξ（x,y)＝0

如果引入拓广的实数域，那么当λ取∞时表示的是直线ξ（x,y）＝0，那么对于任意一个异于P的点Q（x₂,y₂），可以解得PQ的参数λ＝-φ（x₂，y₂）/ξ（x₂，y₂）， 这就实现了λ和直线间的一个双射。

双曲线？ 不尽然 就比如 y＝1/x² 可以化为x²y-1＝0 这是个三次曲线 而双曲线图像是二次曲线 因而这个函数图像不可能是双曲线。

这个结论用射影几何的眼光来看应该还是比较显然的了，且可以推广到任意的非退化二次曲线。

证：

如图， 由二次点列及透视对应性质，有(FJ,KG)＝C（FD,EG）＝H（FD,EG）＝(ND,EM)，这说明点列(F,J,K,G)与点列(N,D,E,M)射影对应，于是由二级曲线的定义可知，此射影对应对应点连线FN,JD,KE,GM以及点列的底JK,NM属于同一个二级曲线，或者说外切于同一条二阶曲线，由布列安桑定理可知简单六点形KJINML三条对顶线共点于O。（证毕）

这个结论与点的顺序无关，即两个三点形的相对位置不影响结论。

利用射影变换可以推广到任意非退化二次曲线上。 此外 ，还得到了一个推论:同时内接于一条二次曲线的两个三点形也同时外切于一条二次曲线，反之也成立。

为什么 FE丄AB？

如图，我们可以认为三角形CDE绕点E逆时针旋转了六十度，这里介绍一个旋转变换的性质——向量DC绕一点E旋转角θ（0≤θ≤π）得到向量D'C',则向量DC与向量D'C'所成角α＝θ。

证明也比较容易，如下图，直线ED绕A旋转角θ后得到直线CE,过A做AD⊥DE，AC⊥EC，那么θ＝∠DAC ，由四点共圆就得到∠DEF＝∠DAC＝θ.证毕。

回到题中的图，显然就有∠FHC＝∠AHD'＝60°，而∠A＝30°，那么自然C'D'⊥AB.

注意到三点形EFG实际上是完全四点形ABCD的对边三点形，于是三点形EFG是关于该二次曲线的一个自极三点形。而我们知道xy＝1的图像是一个等轴双曲线，它的两条渐近线是垂直的，也就是被过中心的两条迷向直线调和分离。而由共圆可知EFOG和圆环点IJ在同一条二次曲线上。

于是题目可以这样描述

如图，有心二次曲线交无穷直线（紫色直线）于M,L，中心为F，完全四点形IJKN内接其中，其对边三点形为POQ,圆环点H,G，则FHGOQP在同一条二次曲线上。

由前文知(HG,ML)＝-1，于是H，G共轭，而G，F也共轭，于是G的极线为FH，同理H的极线为GF,而F的极线为HG,这说明三点形FGH也是一个自极三点形，而射影变换不改变配极关系，于是命题等价于证明:两个关于同一条二次曲线自极的三点形内接于同一条二次曲线。

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