数学三角形定理与中心集群（一） (6-5)

如图三点形OPQ,HGF关于二阶曲线Γ自极。设由Γ确定的配极变换为φ，设FG,HG分别交PQ于S，R，连OH,OF。由二阶曲线的定义知只需证明O(QP,HF)＝G（QP,HF）即可说明HGFOQP内接于同一条二阶曲线。

由自极三点形性质有φ（P）＝OQ， φ（Q）＝OP ，φ（H)＝FG,φ（F)＝HG ，φ（O)＝PQ 而S＝φ（O)×φ(H) 于是由配极原则有φ（S)＝OH,同理φ（P）＝OF。而于是配极变换把点列（P,Q,S,R)对应到线束O（Q,P,H,F)，而点列（P,Q,S,R)与线束G(P,Q,F,H) 透视，于是线束O（Q,P,H,F）与线束G（P,Q,F,H）射影对应，即有O（QP,HF）＝G（PQ,FH）＝G(QP,HF)。证毕。

x1 x2＞4 和x1x2＞4 并不会等价于x1,x2都大于2 比如1.9和3 正确的应该是x1 x2＞4和（x1-2)（x2-2)＞0 再结合判别式得出答案。

一般方法就行了。设M（x1,y1）N（x2，y2）

很明显△MF1N周长为4a ，一般题目涉及到这样周长固定的三角形和内切圆半径那么往往考虑面积公式，这个时候S＝2ar＝4r

那么S还等于什么呢，也就是还有什么方法能表示S呢，别忘了题目l是过F2的，也就是说我们可以以F1F2为底，那么S＝1/2×2c×｜y1-y2｜ ＝ ｜y1-y2｜，于是r＝｜y1-y2｜/4，那后面的步骤就很简单了 ，联立韦达。

设直线l:x＝my 1 ，（当然这里斜率不会为0，为0的话就没有三角形了)这么设可以说是理所当然的，首先直线过的定点在x轴上，其次我们要得到的是两纵坐标的关系，那么就要在联立后的式子里消去x。

l:x＝my 1和方程3x² 4y²-12＝0联立得到一个这样的式子:（3m² 4）y² 6my-9＝0，y1y2＝-9/（3m² 4) ， y1 y2＝-6my/（3m² 4) ,于是｜y1-y2｜＝√[（y1 y2)²-4y1y2]＝12√（m² 1)/（3m² 4 )， r＝｜y1-y2｜/4＝3√（m² 1)/（3m² 4)，这里要作一个换元，设t＝√（m² 1），t∈[1， ∞)

那么r＝｜y1-y2｜/4＝3√（m² 1)/（3m² 4)＝3t/（3t² 1）＝3/（3t 1/t） ，而t∈[1， ∞)，那么可知r∈（0，3/4]

圆内接对角线垂直四边形

圆内接对角线互相垂直的四边形的性质有很多，也是初等几何中一个重要的构型，本文主要从代数和几何方面讨论它的一些性质，以及在圆锥曲线中的推广。

（性质1)婆罗摩笈多定理

圆内接对角线互相垂直的四边形的一边中点与对角线交点的连线垂直于这条边的对边，反过来，过对角线交点作一边垂线，其反向延长线交这边的对边于中点。

如图，I为EG中点，GH⊥EF,CI交FH于J，则CJ⊥FH.

证：

仅需证∠FCJ＝∠FHC,而∠FCJ＝∠ICE＝∠IEC（IC＝IE)＝∠FHC，证毕。 这个定理比较初等，但也有些用处。

再介绍一个相关的引理，也比较初等——圆心到圆内接对角线互相垂直的四边形的一边的距离等于这边的对边长度的一半。（性质2）

如图，过A作AK⊥EH，有｜AK｜＝1/2｜GF｜

连接A与A在GF上的射影L，连GA.由定理内容有AK＝GL，加上半径相等和直角边相等，那么△AKH≌△GLA，于是欲证定理只需证两三角形全等。

仅需证∠AHK＝∠GAL.

而∠KAH＝∠EGH,∠GCE＝∠AKH→∠AHK＝∠GEC＝∠GAL，正毕。

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