数学三角形定理与中心集群（一） (6-3)

由于题设条件只涉及仿射不变量，对于椭圆的情况，于是可以择适当的仿射变换将椭圆变为圆。

如图，过F的切线设圆于G,D,过F的直线与圆交于K,I，过K做作FG平行线交GI,GD于LM,则M为LK中点。

由menelaus定理知要证M为中点，只需证KN/NI×IG/LG＝1，由平行线分线段成比例知这又等价于KN/NI×IF/KF＝1。

KN/NI＝S△KHD/S△IGD＝(KG×KD)/(IG×ID)①‬

IF/KF＝S△IGF/S△KGF＝(IG/GK)×(sin∠IGF/sin∠KGF)，由弦切角定理及正弦函数性质知sin∠IGF＝sin∠GKI，sin∠KGF＝sin∠GIK，于是IF/KF＝（IG/GK)×（sin∠IGF/sin∠KGF)＝(IG/GK)×(sin∠GKI/sin∠GIK)＝IG²/GK²②

那么由①，②知KN/NI×IF/KF＝(KG×KD)/(IG×ID)×(IG²/GK²)＝（IG×KD)/（ID×KG)，由圆内接调和四边形两对对边乘积相等知该式等于1 ，证毕。

实际上这个证明就是在欧氏平面内说明极线的调和性质的过程。

AB中点M坐标（-7/2，1/2） ，向量AB＝（-5，-5) 点法式就出来了， -5(x 7/2)-5(y-1/2)＝0 即x y 3＝0。

如图 点A（-7/2,0）的极线为GF，则（AH,DE）＝B（AH,DE）＝-1,设BA,BH,BD,BE,AD斜率分别为k₁ k₂ k₃ k₄ k₅，则题目要证的是k₅（k₃ k₄)为定值。

由非齐次参数的几何意义知道[(k₁-k₃)（k₂-k₄)]/[(k₁-k₄)(k₂-k₃)]＝-1 ① ，而k1＝0，化简得到k₃ k₄＝2k₃k₄/k₂，那么由对合方程我们知道k₃k₄为定值，然后又要证明k₅（k₃ k₄)为定值，这说明什么，这说明k₅/k₂为定值，而这是显然的，观察上图可知k₅/k₂＝BI/AI，然而A,B,I都是定点，所以为定值。

如图，设非退化二次曲线Γ确定的一个配极变换为φ，φ（BD)＝I,φ（EC）＝J，则需证明(GH,JI)＝-1

三点形FGH为自极三点形，故φ（FH)＝G，φ（FG）＝H, 那么实际上变换φ把线束F(G,H D,C)对应到点列（H, G ,I ,J),由完全四点形调和性质知F(GH ,DC)＝-1，由于配极变换保交比，故（HG ,I J)＝-1，证毕。

点列l（P）与线束O(P)透视，设l极点为L,那么由配极变换的性质知线束L（Q）与点列l(P)射影对应，于是线束O(P)与线束L（Q）射影对应，那么交点的全体构成一条二阶曲线。

那么轨迹上为什么没有实的无穷远点呢，其实很简单，如下图,G为椭圆中心，F的极线上任一点H ,H的极线交GH于J，假设J为无穷远点，那么J的极线过中心G,由配极原则J极线还要过H，那也就是说J的极线为HG ,于是J自共轭，那么J应在椭圆上，而J为实无穷远点，这与 椭圆与无穷远直线相离矛盾，故假设不成立，即J不可能是无穷远点，也就是轨迹与无穷远直线不相交，故轨迹为椭圆。

接下来求一下方程：

由于P在题设中的直线上，于是可设P（x₁，8-2x₁/3） ，那么P的极线可求得xx₁/24 y(8-2x₁/3)/16＝1，那么斜率k1＝x₁/（x₁-12） 而OP斜率为k2＝（24-2x₁)/3x₁，可得k₁k₂关系为3k₁k₂ 2＝0。

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