数学三角形定理与中心集群（一） (6-2)

这个结论中向量是三维的，（向量均为列向量)用线性代数语言描述就是:向量组a₁，a₂，a₃线性无关，向量m能用这个向量组线性表示，且系数和为1，则有向量组a₁-m,a₂-m,a₃-m线性相关。

事实上这个结论可以推广到n维，即:n个n维向量组成的向量组a₁a₂a₃……an线性无关，m能用该向量组线性表示，且系数和为1，则向量组a₁-m,a₂-m,a₃-m……an-m线性相关。接下来证明一下。

证：

由条件知道存在非零向量X＝（x₁ x₂ x₃……xn)使得[a₁ a₂ a₃……an]Xᵀ＝m，（[a₁ a₂ a₃……an]表示向量组α对应的矩阵A，）由向量组线性无关知det（A)≠0， 由于X的分量之和为1，（记｜a₁ a₂ a₃……an｜表示det(A))由克莱姆法则可知｜m a₂ a₃……an｜+｜a₁ m a₃……an｜+｜a₁ a₂ m……an｜+……｜a₁ a₂ a₃……m｜＝｜a₁ a₂ a₃……an｜.

也即｜m a₂ a₃……an｜+｜a₁ m a₃……an｜+｜a₁ a₂ m……an｜+……｜a₁ a₂ a₃……m｜-｜a₁ a₂ a₃……an｜＝0记为式①

构造这样一个行列式（n+1)阶的行列式N

│1 1 1 1 …… 1 1│

│α1 α2 α3 α4 …… αn m│

接下来分两种情况

1):n为奇数，

观察式①的第一项｜m a₂ a₃……an｜与行列式N的余子式M11的关系可以发现M11的第n列向前与n-1列交换，再与n-2列交换……直到与第一列交换一共交换了n-1次，为偶数次，于是M11＝｜m a₂ a₃……an｜，代数余子式A11＝｜m a₂ a₃……an｜，再观察行列式N的余子式M12与｜a₁ m a₃……an｜，可以发现是M12的第n列向前n减2次，为奇数次，故M12＝-｜a₁ m a₃……an｜

,那么A12＝｜a₁ m a₃……an｜，以此类推可以发现交换次数为奇数次时代数余子式的系数为-1,交换次数为偶数时代数余子式的系数为1，于是就有A1n等于①中的第n项，再来看最后一个项-｜a₁ a₂ a₃……an｜和M1 (n+1)的关系，可以知道1+n+1为奇数，于是A1 (n+1)等于最后一个项，于是行列式N＝式①＝0，让N的每一列加上第n+1列的-1倍得到这样的行列式N'＝N＝0

│0 0 0 0 …… 0 1│

│α1 – m α2 – m α3 – m α4 – m …… αn – m m

把它按行展开实际上就是N'＝A1 (n+1)＝0

即｜a1-m a2-m a3-m……an-m｜＝0， 也就是向量组线性相关。

2):当n为偶数的时候证明过程类似，最后得到N＝-式①＝0，然后就是一样的步骤了，读者有兴趣自己思考一下。

至此，就证明完毕了。

假设截得的弦为AB，中点为M，椭圆中心为O，事实上有这样一个结论，k₁k₂＝e²-1，这是椭圆第三定义的直接推论。

由对称性，只证明半部分，另一半同理。如图，F的切线切二次曲线于G,H，过F的直线交曲线于K,J，过K做FG平行线交GJ GH于L,M ，则M为KL中点。

证：

F的极线为GH,则G(FH,KJ)＝-1，这个线束在直线KL上的截影为K,L,M,P∞，为调和点列，那么自然有M为KL中点。这个结论比较显然。

当然还可以这样证明，只是显得麻烦：

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