数学三角形定理与中心集群（一） (6-1)

已知两点坐标A（x₁，y₁），B（x₂,y₂）（x₁≠x₂） 则直线AB:（y-y₁）/(x-x₁)＝（y₂-y₁）/（x₂-x₁）这是直线的两点式 ， 把第三点横坐标带入就能解出纵坐标了。

斜率为k的直线簇经过无穷远点M∞:（1,k,0）,按题目最后的答案说明PQM∞共线 ，事实上M不是无穷远点结论也成立

如图，一条二次曲线外有两点P,F，过F做直线交曲线于R,M，PR,PM分别交曲线于L,S则LS经过PF上一个定点

证：

连LS交RM于Q, LM和RS交于T,QT交PF于U,LS交PF于O。

则由极线定义知道QT为P极线那么U为定点，由完全四点形调和性知点偶P,U调和分离O,F,由于P,U,F都是定点于是O为定点，而LS是动直线 故不会经过另一个定点，于是LS经过PF上的定点O。

题目中的情况即把F投射到无穷远处。

注意到P，F实际上确定了曲线Γ上的两个对合，p,f则为R,M为f的对应点，L＝p(R),S＝p(M),则L,S成射影对应，容易知道L,D为这两个对合通过适当复合而成的新的映射pºfºp(emmm 这里复合符号不方便打就用“º”代替了)的对应点，那么由前文知道这个映射还是一个对合并且对合中心在PF上

我们还能将这个结论推广到n个点的情况，如下图

直线FG上有若干个点H,L,M,N,O……P，过H的直线和曲线Γ交于J,K，LJ,LK分别交Γ与R,Q,MR,MQ分别交Γ于T,S……PZ,PW分别交Γ于A,B则AB经过直线FG上的一个定点D.

证：

该命题可以等价描述为：

直线FG上有若干个点H,L,M,N,O……P，由此确定了关于这些点的对合φ₁,φ₂,φ₃……φn 设f＝φnºφn-1º……ºφ₁，设φ₁的对应点为φ(Ji)＝Ki (i为下角标，i＝1，2，3，4……n下同)，则f(Ji)＝Bi与f(Ki)＝Ai经过直线FG上一定点，即f为对合中心在该直线上的一个对合。

回到图中，由前文知道Q,R为对合φ₁与φ₂的复合，并且φ₂ºφ₁ºφ₂仍然是一个对合且中心在直线上，设为h，于是点S,T为对合φ₃ºhºφ₃的对应点，且对合中心在直线上……则Bi与Ai也为对合的对应点且中心在直线上。证毕。

注意到AC经过无穷远点(1,k,0)，而这个无穷远点的极线为OP，过P，说明这个点是P的共轭点，因为射影变换保持共轭关系，所以题目可以这么叙述:如下图

过F作直线交二次曲线Γ于J,K, F的共轭点G与K连线交Γ于L，则JL过定点。

证明:设F,G的极线(两条蓝色直线)交于M,由极线性质知(KL,NG)＝(KJ,FO)＝-1 注意K→K于是两点列透视 ，从而对应点连线共点而GO,FN交于M，故LJ也过M,但是GO， FN分别为F,G极线 ，交点M为定点，于是LJ过定点。(证毕)

由上述推导还可知道定点就是FG的极点，实际上GMF是自极三点形。回到题目，从而题目中对于有心二次曲线的情况定点在OP上，对于抛物线定点与P的纵坐标是相同的。

极点极线是相对来说的，对于任意给定的一个非退化二阶曲线S≡XᵀAX＝0 ，由A决定了一个配极变换ρu＝AX，这是一个双射，所以取定一条非退化二阶曲线，那么任意一个点都有唯一的极线，反过来任意一条直线都有唯一的极点。

我们在高中空间向量部分学习过一个结论:空间中，向量OA,OB,OC不共面

若向量OM＝x₁OA+x₂OB+x₃OC，且x₁+x₂+x₃＝1，则有M,A,B，C共面

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。