数学联邦政治世界观
超小超大

圆锥曲线定理

如图,D的极线交二次曲线于E,F 。A,B为(有心)二次曲线的焦点,连AE,AF,AD.

证明AD平分∠EAF。

如图 ,连AD交EF于J,设EF交A的极线(即准线l)于G,连AG,则G在A的极线,也在D的极线上,由配极原则知AD为G的极线,于是AG过AD的极点即AG,AD共轭,由焦点的定义,过焦点的共轭直线作成的对合与圆对合重合,故AD⊥AG.

由于AD⊥AG,则要证AD平分∠EAF,只要证(GJ,EF)=-1,而G的极线为DJ,由极线的性质知(GJ,EF)=-1。证毕。

此结论对有心二次曲线都成立,对于双曲线的情形AD为外角平分线。

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