完全四边形性质（二） (3-3)

如图三点形GNH外切于抛物线，F是焦点，I,J是圆环点，由垂心的定义，我们先过一个顶点G作对边HN的垂线，这等价于G与HN在直线IJ上的交点K关于I,J的第四调和点U连线。同样的道理H,N也有类似于G的对应的点H',N'，（未画出）。我们要证的就是GU,NN'，HH'共点，且此点在F的极线上。

考虑其对偶命题的一般形式

如图M,N,G，I,J,F内接于二次曲线Γ，I与MNG分别连接，并做分别关于IJ,IF的第四调和直线IK,IO,IL交三点形MNG的对应边于S,P,R，则证明S,P,R共线且此直线经过JF连线的极点。

证：由调和，我们得到M和K,G和O,N和L为以F，J为不动点的对合的对应点，因此它们的连线过FJ的极点H,，此时命题与引理7等价。证毕。

由此我们说明了抛物线外切三角形的垂心在准线上，于是自然就有完全四点形的垂心线的存在。

现在看史坦纳定理（内容:一点P关于三角形ABC的西姆松线过此点与此三角形垂心连线的中点。)就很简单了.由引理3，存在唯一一条以P为焦点的且与三点形ABC相切的抛物线。由上面的讨论我们知道垂心线就是外切抛物线的准线，西姆松线就是顶点处的切线，而这两条直线有相同的无穷远点，且焦点 F到它俩的距离之比为1:2这是熟知的，于是西姆松线自然经过垂心与P连线的中点了。

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